Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng với phương trình tổng quát

\(\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) và \(\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\).

Tọa độ điểm chung của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) là nghiệm của hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0.\end{matrix}\right.\) (I)

Khi đó: 

• \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) \(\Leftrightarrow\) hệ (I) có nghiệm duy nhất;
• \(\Delta_1\) song song với \(\Delta_2\) \(\Leftrightarrow\) hệ (I) vô nghiệm;
• \(\Delta_1\) trùng \(\Delta_2\) \(\Leftrightarrow\) hệ (I) có vô số nghiệm. 

Trong trường hợp \(a_2,b_2,c_2\) đều khác \(0\) thì ta có: 

• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\);
• \(\Delta_1\) song song \(\Delta_2\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}\);
• \(\Delta_1\) trùng \(\Delta_2\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}\).

Xét hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\) và hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\). Lấy một điểm \(M\) thuộc \(\Delta_1\). Khi đó ta cũng có kết quả sau: 

• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trùng nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n_2}\) (hoặc \(\overrightarrow{u_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u_2}\)) và \(M\) thuộc \(\Delta_2\).
• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n_2}\) (hoặc \(\overrightarrow{u_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u_2}\)) và \(M\) không thuộc \(\Delta_2\).
• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n_1}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{n_2}\) (hoặc \(\overrightarrow{u_1}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u_2}\)).

Ví dụ: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x-y+1=0\). Xét vị trí tương đối của \(d\) với mỗi đường thẳng sau: 

a) \(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-1+2t.\end{matrix}\right.\)

b) \(\Delta_2:y=x+2\).

c) \(\Delta_3:\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{8}=-\dfrac{1}{8}\).

Giải: 

a) \(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-1+2t\end{matrix}\right.\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}=\left(1;2\right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=\left(2;-1\right)\).

Ta lấy \(t=0\), ta được điểm \(M\left(1;-1\right)\in\Delta_1\). 

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_1\) là \(2x-y-3=0\).

Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_1\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_d}=\left(2;-1\right)\) và \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=\left(2;-1\right)\) cùng phương nên \(d\) và \(\Delta_1\) song song hoặc trùng nhau. 

Mà ta có \(M\left(1;-1\right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta_1\) nhưng không thuộc đường thẳng \(d\) vì \(2.1-\left(-1\right)+1=4\ne0\). 

Do đó hai đường thẳng này song song với nhau. 

b) Đường thẳng \(\Delta_2\) có phương trình \(y=x+2\Leftrightarrow x-y+2=0\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\Delta_2}}=\left(1;-1\right)\). 

Ta có \(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{-1}{-1}\), do đó hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_2\) không cùng phương. Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_2\) cắt nhau. 

c) Đường thẳng \(\Delta_3\) có phương trình \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{8}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow2x-y+1=0\). 

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_3\) là một, hay chúng trùng nhau. 

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng cắt nhau \(\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) và \(\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\).

Khi đó, \(\overrightarrow{n_1}\left(a_1;b_1\right)\), \(\overrightarrow{n_2}\left(a_2;b_2\right)\) tương ứng là các vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) và góc \(\varphi\) giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) được xác định thông qua công thức

\(\cos\varphi=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\dfrac{\left|a_1a_2+b_1b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\).

Hai đường thẳng \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi 

\(\cos\varphi=0\Leftrightarrow\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=a_1a_2+b_1b_2=0\).

Ví dụ: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) \(d_1:\sqrt{3}x-y-4=0\) và \(d_2:x-\sqrt{3}y+2=0;\)

b) \(d_3:\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) và \(d_4:\left\{{}\begin{matrix}x=1+4t'\\y=5-2t';\end{matrix}\right.\)

c) \(d_5:\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=2+2t\end{matrix}\right.\) và \(d_6:3x-2y+6=0\).

Giải:

a) Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). 

Ta có \(\overrightarrow{n_{d_1}}=\left(\sqrt{3};-1\right)\), \(\overrightarrow{n_{d_2}}=\left(1;-\sqrt{3}\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\alpha=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{d_1}},\overrightarrow{n_{d_2}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{d_1}}.\overrightarrow{n_{d_2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{d_1}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{d_2}}\right|}=\dfrac{\left|\sqrt{3}.1+\left(-1\right).\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{1+3}}=\dfrac{\left|2\sqrt{3}\right|}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

suy ra \(\alpha=30^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\alpha=30^o\).

b) Gọi \(\beta\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_3\) và \(d_4\). 

Ta có \(\overrightarrow{u_{d_3}}=\left(3;1\right)\), \(\overrightarrow{u_{d_4}}=\left(4;-2\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\beta=\left|\cos\left(\overrightarrow{u_{d_3}},\overrightarrow{u_{d_4}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_{d_3}}.\overrightarrow{u_{d_4}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{d_3}}\right|.\left|\overrightarrow{u_{d_4}}\right|}=\dfrac{\left|3.4+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|10\right|}{\sqrt{10}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

suy ra \(\beta=45^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\beta=45^o\).

c) Gọi \(\gamma\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_5\) và \(d_6\). 

Ta có \(\overrightarrow{u_{d_5}}=\left(-3;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{d_5}}=\left(2;3\right)\), \(\overrightarrow{n_{d_6}}=\left(3;-2\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\gamma=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{d_5}},\overrightarrow{n_{d_6}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{d_5}}.\overrightarrow{n_{d_6}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{d_5}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{d_6}}\right|}=\dfrac{\left|2.3+3.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=0\)

suy ra \(\gamma=90^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\gamma=90^o\).

Cách khác: Ta thấy \(\overrightarrow{n_{d_5}}.\overrightarrow{n_{d_6}}=2.3+3.\left(-2\right)=0\) do đó \(\gamma=90^o\).

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) và đường thẳng \(\Delta:ax+by+c=0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\), kí hiệu là \(d\left(M,\Delta\right)\), được tính bởi công thức

\(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). 

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left(1;0\right)\), \(B\left(3;2\right)\) và \(C\left(-2;-1\right)\). 

Tính độ dài đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\). 

Giải:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(x-y-1=0\). 

Độ dài đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\) là 

\(d\left(C,AB\right)=\dfrac{\left|-2-\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\).