Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Trong tam giác \(ABC\), ta kí hiệu:

• \(A,B,C\) là các góc của tam giác tại các đỉnh tương ứng.
• \(a,b,c\) tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh \(A,B,C\).
• \(p\) là nửa chu vi.
• \(S\) là diện tích.
• \(R,r\) tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí côsin. Trong tam giác \(ABC\):

\(a^{^{ }2}=b^2+c^2-2bc\cos A,\)

\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\)

Hệ quả.

\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\);\(\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\);\(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AC=10\) cm, \(BC=16\) cm và góc \(C\) bằng \(110^\circ\). Tính cạnh \(AB\) và góc \(A\) của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin ta có:

 \(AB^2=CA^2+CB^2-2CA.CB.\cos\widehat{C}\)

\(AB^2=16^2+10^2-2.16.10\)\(\cos110^\circ\)

\(AB^2\approx465,44\)

suy ra \(AB\approx\sqrt{465,44}\approx21,6\) (cm).

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

\(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}\)

\(\cos A\approx\dfrac{10^2+\left(21,6\right)^2-16^2}{2.10.21,6}\approx0,72\)

suy ra \(A\approx\) \(43^\circ56'\).

2. ĐỊNH LÍ SIN

Định lí sin. Trong tam giác \(ABC\):

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\).

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=6\) cm, \(\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=45^\circ\), tính độ dài cạnh \(AC\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{6.\sin30^\circ}{\sin45^\circ}\approx4,24\) cm.

Ta lại có 

\(\dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2.\sin C}=\dfrac{6}{2.\sin45^\circ}\approx4,24\) cm.

3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

 Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó.

Chú ý. Khi áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

• Biết hai cạnh và góc xen giữa;
• Biết ba cạnh;
• Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}=60^\circ,\widehat{C}=45^\circ,AB=5\). Tính:

a) Số đo \(\widehat{A}\)?

b) Tính độ dài cạnh \(AC\) và \(BC\)?

Giải:

a) Áp dụng tổng ba góc trong một tam giác \(180^0\) , ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\)

suy ra \(\widehat{A}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{C}=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\).

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\) do đó:

\(AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{5.\sin60^\circ}{\sin45^\circ}\approx6,12\) ;

\(BC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin A}=\dfrac{5.\sin60^\circ}{\sin75^\circ}\approx4,48\).

Ví dụ 2: Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết \(AH=4\) m, \(HB=20\) m, \(\widehat{BAC}=45^\circ\). Tính chiều cao của cây?

Giải

Trong tam giác vuông \(AHB\) có \(\tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\widehat{ABH}\approx11^\circ19'\)

Ta có \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=90^\circ\Rightarrow\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{ABH}\approx90^\circ-11^\circ19'\approx78^\circ41'\)

suy ra \(\widehat{ACB}=180^\circ-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)\approx56^\circ19'\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\dfrac{AB.\sin\widehat{BAC}}{\sin\widehat{ACB}}\approx17\) m.

Vậy chiều cao của cây là \(17\) m.

4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Công thức tính diện tích tam giác \(ABC\):

\(S=pr=\dfrac{\left(a+b+c\right)r}{2}\);

\(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C;\)

\(S=\dfrac{abc}{4R};\)

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (Công thức Heron)