Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi \(\left(x_0;y_0\right)\) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ. Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\le10\\2x-y>3\end{matrix}\right.\) là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) và cặp số \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

• Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
• Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Chú ý.

• Phương trình của trục \(Ox\) là \(y=0\).
• Phương trình của trục \(Oy\) là \(x=0\).

Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

• Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
• Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y< 0\\x+3y>-2\end{matrix}\right.\) trên mặt phẳng tọa độ.

Giải

Xác định miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x-2y< 0\) và gạch bỏ miền còn lại.

- Vẽ đường thẳng \(d_1:x-2y=0\).

- Xét điểm \(M\left(0;1\right)\) có \(1.0-2.1=-2< 0\) nên tọa độ điểm \(M\left(0;1\right)\) nằm trong miền nghiệm \(D_1\).

Do đó miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x-2y< 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) chứa điểm \(M\left(0;1\right)\).

Tương tự miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(x+3y>-2\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_2\) chứa điểm \(M\left(0;1\right)\).

Khi đó miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch trong hình vẽ sau

3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Nhận xét. Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức \(F\left(x;y\right)=ax+by\), với \(\left(x;y\right)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \(A_1A_2...A_n\), tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left(x;y\right)=x-y\) thỏa mãn điều kiện\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\0\le y\le4\\x-y-1\le0\\x+2y-10\le0\end{matrix}\right.\).

Giải

Ta xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là ngũ giác \(ABCOE\) với \(A\left(4;3\right);B\left(2;4\right);C\left(0;4\right);E\left(1;0\right)\) như hình vẽ:

 Biểu thức \(F\left(x;y\right)=x-y\) nhận giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh \(A;B;C;O;E\). Ta có:

\(F\left(4;3\right)=1\);\(F\left(2;4\right)=-2;F\left(0;4\right)=-4;F\left(0;0\right)=0;F\left(1;0\right)=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(F\left(x;y\right)=x-y\) thỏa mãn điều kiện là \(-4\) khi \(x=0;y=4\).