Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

I. HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y=ax^2+bx+c,\) trong đó \(a,b,c\) là các hằng số và \(a\ne0.\)

Tập xác định của hàm số bậc hai là \(ℝ\).

Ví dụ: trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?

a)\(y=3x^3-2x+1\);

b)\(y=-2x^2+x+3\);

c)\(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\).

Giải

Hàm số \(y=-2x^2+x+3\) là hàm số bậc hai có hệ số của \(x^2\) là \(-2\), hệ số của \(x\) là \(1\), hệ số tự do là \(3.\)

Hàm số \(y=3x^3-2x+1\) và \(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\) không phải là hàm số bậc hai.

II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm với tọa độ \(\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\) và trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}.\)

Nhận xét: Cho hàm số \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) ta có \(-\dfrac{\Delta}{4a}=f\left(-\dfrac{b}{2a}\right).\)

Để vẽ đường parabol \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) ta tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right);\)

2. Vẽ trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\);

3. Xác định một số điểm đặc biệt như: giao điểm của parabol với trục tung (có tọa độ \(\left(0;c\right)\)), trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm \(\left(0;c\right)\) qua trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\)

4. Vẽ parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số.

Chú ý: Nếu \(a>0\) thì parabol có bề lõm quay lên trên, nếu \(a< 0\) thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).

Giải

Tọa độ đỉnh \(I\left(2;-1\right)\);

Trục đối xứng \(x=2\).

Giao điểm của parabol với trục tung là \(A\left(0;3\right)\), giao điểm của parabol với trục hoành là \(B\left(1;0\right)\) và \(C\left(3;0\right)\).

Điểm đối xứng với điểm \(A\left(0;3\right)\) qua trục đối xứng \(x=2\) là \(D\left(4;3\right)\).

Vẽ parabol qua các điểm được xác định như trên, ta được đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).

Nhận xét: Cho hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)