Bài 16: Hàm số bậc hai

1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y=ax^2+bx+c,\) trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\) là các hằng số và \(a\ne0.\)

Tập xác định của hàm số bậc hai là \(ℝ\).

Ví dụ: trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?

a)\(y=3x^3-2x+1\);

b)\(y=-2x^2+x+3\);

c)\(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\).

Giải

Hàm số \(y=-2x^2+x+3\) là hàm số bậc hai có hệ số của \(x^2\) là \(-2\), hệ số của \(x\) là \(1\), hệ số tự do là \(1.\)

Hàm số \(y=3x^3-2x+1\) và \(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\) không phải là hàm số bậc hai.

Nhận xét.

Hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với \(b=c=0.\)

2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) là một parabol.

 Đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm \(I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu \(a>0\), xuống dưới nếu \(a< 0.\)

Để vẽ đường parabol \(y=ax^2+bx+c\) ta tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right);\)

2. Vẽ trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\);

3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol;

4. Vẽ parabol.

Tính chất

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).

Giải

Tọa độ đỉnh \(I\left(2;-1\right)\);

Trục đối xứng \(x=2\).

Giao điểm của parabol với trục tung là \(A\left(0;3\right)\), giao điểm của parabol với trục hoành là \(B\left(1;0\right)\) và \(C\left(3;0\right)\).

Điểm đối xứng với điểm \(A\left(0;3\right)\) qua trục đối xứng \(x=2\) là \(D\left(4;3\right)\).

Vẽ parabol qua các điểm được xác định như trên, ta được đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).