Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG \(\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}\) (I) 

(\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) và \(g\left(x\right)=mx^2+nx+p\) với \(a\ne m\))

Để giải bất phương trình (I), ta làm theo các bước sau:

Bước 1. Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) rồi tìm nghiệm của phương trình này.

Bước 2. Thay từng nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) vào bất phương trình \(f\left(x\right)\ge0\) (hoặc \(g\left(x\right)\ge0\)). Nghiệm nào thỏa mãn bất phương trình thì giữ lại, nghiệm nào không thỏa mãn thì loại đi.

Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình (I).

Ví dụ. Giải phương trình \(\sqrt{x^2-6x+2}=\sqrt{-2x^2+5x-6}\).

Giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được

\(x^2-6x+2=-2x^2-5x+10\)

\(\Leftrightarrow3x^2-11x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay lần lượt \(x=1\) và \(x=\dfrac{8}{3}\) vào bất phương trình \(x^2-6x+2\ge0\) đều không thỏa mãn, vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

II. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\) (II)

(\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) và \(g\left(x\right)=dx+e\) với \(a\ne d^2\))

Các bước giải phương trình (II):

Bước 1. Giải bất phương trình \(g\left(x\right)\ge0\) để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của (II) dẫn đến phương trình \(f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^2\) rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3. Trong các nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^2\) ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình \(g\left(x\right)\ge0\). Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của bất phương trình (II).

 Ví dụ. Giải phương trình \(\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1\) (1)

Giải

Ta có: \(3x+1\ge0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{-1}{3}.\)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

\(4x^2+2x+10=9x^2+6x+1\)

\(\Leftrightarrow-5x^2-4x+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\).

Trong hai giá trị \(x=1\) và \(x=-\dfrac{9}{5}\) ,chỉ có \(x=1\) thỏa mãn \(x\ge-\dfrac{1}{3}\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=1.\)