Bài 2. Giới hạn của hàm số

Dạng 1. Giới hạn tại 1 điểm

I. Định nghĩa

a. Giới hạn hữu hạn

Giả sử \((a;b)\) là một khoảng chứa điểm \(x_{0}\)và \(f'\) là một hàm số xác định trên tập hợp \((a;b)\backslash\{ x_{0}\}\). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn là số thực \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_{0}\) ( hoặc tại điểm \(x_{0}\)) nếu với mọi dãy số \(\left\{ x_{n} \right\}\) trong tập hợp \((a;b)\backslash\{ x_{0}\}\), mà \(\text{lim}\ x_{n} = x_{0}\)ta đều có \(\text{lim}\ f\left( x_{n} \right) = L\).

Khi đó ta viết \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L\) hoặc \(f(x) \rightarrow \infty\) khi \(x \rightarrow x_{0}\).

Nhận xét:

🔸 Nếu \(f(x) = c\) thì \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = c\)

🔸 Nếu \(f(x) = x\) thì \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = x_{0}\)

b. Giới hạn vô cực

Giả sử \((a;b)\) là một khoảng chứ điểm \(x_{0}\) và \(f'\) là một hàm số xác định trên tập hợp \((a;b)\backslash\left\{ x_{0} \right\}\). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn là số thực \(\infty\) khi $x$ dần tới \(x_{0}\) ( hoặc tại điểm \(x_{0}\)) nếu với mọi dãy số \(\left( x_{n} \right)\)trong tập hợp \((a;b)\backslash\left\{ x_{0} \right\}\) mà \(\text{lim}\ x_{n} = x_{0}\) ta đều có \(\text{lim}\ f\left( x_{n} \right) = L\)

Khi đó ta viết: \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = \infty\) hoặc \(f(x) \rightarrow L\) khi \(\underset{x \rightarrow 2}{\text{lim}}\left( 3x^{2} + 7x + 11 \right)\)

II. Định lý về giới hạn

Định lý 1.

Cho \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L\), \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ g(x) = M\)

Ta có:

🔸\(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack = L \pm M\)

🔸\(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = L.M\)

🔸\(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack c.f(x) \right\rbrack = c.L\)

🔸\(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\rbrack = \dfrac{L}{M}\) với \(M \neq 0\).

Định lý 2.

Nếu \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L\) thì \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left| f(x) \right| = |L|\); \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{L}\); \(\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\) với \(L \geq 0\).

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a. \(\underset{x \rightarrow - 2}{\text{lim}}\dfrac{(3x + 1)(2 - 3x)}{x + 1}\).

b. \(\underset{x \rightarrow 1}{\text{lim}}\sqrt{\dfrac{5x - 1}{2x + 7}}\).

c. \(\underset{x \rightarrow - 3}{\text{lim}}\left| \dfrac{(x + 1)(2 - x)}{x - 1} \right|\).

Lời giải

a. \(\underset{x \rightarrow - 2}{\text{lim}}\dfrac{(3x + 1)(2 - 3x)}{x + 1} = 40\).

b. \(\underset{x \rightarrow 1}{\text{lim}}\sqrt{\dfrac{5x - 1}{2x + 7}} = \sqrt{\dfrac{5 - 1}{2 + 7}} = \dfrac{2}{3}\).

c. \(\underset{x \rightarrow - 3}{\text{lim}}\left| \dfrac{(x + 1)(2 - x)}{x - 1} \right| = \left| \dfrac{( - 3 + 1)(2 + 3)}{- 3 - 1} \right| = \dfrac{5}{2}\).

Dạng 2. Giới hạn một bên

Giới hạn phải

Giả sử hàm số \(f\) xác định định trên khoảng \(\left( x_{o};b \right)\). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn bên phải là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \(x_{o}\) nếu mọi số \(\left( x_{n} \right)\) trong khoảng \(\left( x_{o};b \right)\) mà \(\text{lim}\ x_{n} = x_{o}\) ta đều có \(\text{lim}\ (f(x_{n})) = L\).

Khi đó, ta viết: \(\underset{x \rightarrow x_{o}^{+}}{\text{lim}}f(x) = L\) hoặc \(f(x) \rightarrow L\) khi \(x \rightarrow x_{o}^{+}\).

Giới hạn trái

Giả sử hàm số \(f\) xác định định trên khoảng \(\left( a;x_{o} \right)\). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn bên trái là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \(x_{o}\) nếu mọi số \(\left( x_{n} \right)\) trong khoảng \(\left( a;x_{o} \right)\) mà \(\text{lim}\ x_{n} = x_{o}\) ta đều có \(\text{lim}\ (f(x_{n})) = L\).

Khi đó, ta viết: \(\underset{x \rightarrow x_{o}^{-}}{\text{lim}}f(x) = L\) hoặc \(f(x) \rightarrow L\) khi \(x \rightarrow x_{o}^{-}\).

Nhận xét: Nếu tồn tại \(\underset{x \rightarrow x_{o}}{\text{lim}}f(x) = L\) thì \(\underset{x \rightarrow x_{o}^{-}}{\text{lim}}f(x) = \underset{x \rightarrow x_{o}^{+}}{\text{lim}}f(x) = L\) và ngược lại.

Ví dụ 2:

a. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}}\dfrac{1 + 3x - 2x^{2}}{x - 3}\).

b. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}}\left( \sqrt{3 - x} + x \right)\).

c. \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}\dfrac{|2 - x|}{2x^{2} - 5x + 2}\).

Lời giải

a. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}}\dfrac{1 + 3x - 2x^{2}}{x - 3} = - \infty\).

Vì $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (1+3x-2x^2) = -8 >0$ và $x-3>0,$ $\forall x >3$.

b. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}}\left( \sqrt{3 - x} + x \right) = \sqrt{3-3}+3=3.\)

c. \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}\dfrac{|2 - x|}{2x^{2} - 5x + 2} = \lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}\dfrac{2 - x}{(x - 2)(2x - 1)} = \lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}\dfrac{- 1}{2x - 1} = \dfrac{- 1}{3}\).

Bài toán chứng minh sự tồn tại của giới hạn tại 1 điểm.

Ví dụ 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \left\{ \begin{aligned} \dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ \ khi\ \ x > 1 \\ - \dfrac{x}{2}\ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{aligned} \right.\ \) tại \(x = 1\).

b) \(f(x) = \left\{ \begin{aligned} x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ 4x - 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x > 2 \\ \end{aligned} \right.\ \) tại \(x = 2\).

Lời giải

a) Có \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}\left( - \dfrac{x}{2} \right) = - \dfrac{1}{2}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}\dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}\dfrac{x - 2}{x + 1} = - \dfrac{1}{2}\).

\[\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 1}f(x) = - \dfrac{1}{2}\]

b) Có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 2x + 3 \right) = 3\)

\[\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}}(4x - 3) = 5\]

\[\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) \neq \lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}}f(x)\]

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số \(f(x)\) tại \(x = 2\).

Mô tả trực quan về giới hạn của hàm số

Để hiểu rõ hơn về giới hạn của hàm số, xét giới hạn của hàm số \(f(x)=x+2\) khi \(x\rightarrow2\), kí hiệu là \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(x+2\right)\) hay \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\).

Đầu tiên, có thể hiểu \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\) là giá trị mà hàm số \(f\left(x\right)\) dần đạt tới khi \(x\) dần tới \(2\).

Trên đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=x+2\), ta di chuyển điểm \(\left(-1;1\right)\) trên đường thẳng \(d:y=x+2\) đến rất gần điểm có hoành độ \(x=2\), khi đó \(y\) dần tới \(4\).

Tương tự, di chuyển điểm \(\left(3;5\right)\) trên đường thẳng \(d\) đến rất gần điểm có hoành độ \(x=2\), khi đó \(y\) dần tới \(4\).

Từ đó ta nói rằng giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) dần đến \(2\) là \(4\).

Bạn có thể đang tự hỏi sự khác biệt giữa giới hạn của hàm số \(f(x)\) khi \(x\rightarrow2\) hay \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\) và giá trị của hàm số \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\) hay \(f\left(2\right)\). Trong trường hợp này, \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=f\left(2\right)\).

Nhưng không phải lúc nào \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) cũng bằng \(f\left(a\right)\) (\(a\) có thể là số thực hoặc \(\pm\infty\)).

Thật vậy, xét hàm số \(g\left(x\right)=\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}\) hay \(g\left(x\right)=x+2,\forall x\ne2\). Cũng giống như \(f\left(x\right)\), giới hạn của \(g\left(x\right)\) khi \(x\) dần tới \(2\) là \(4\). Lý do là khi \(x\) tới rất gần \(2\) (chưa chạm đến \(2\)) thì \(g\left(x\right)\) vẫn tiến tới rất gần \(4\), nhưng giá trị \(g\left(2\right)\) lại không xác định!

Đó là vẻ đẹp và ý nghĩa của giới hạn, \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) không phụ thuộc vào \(f\left(a\right)\), nó mô tả dáng điệu của \(f\left(x\right)\)  khi \(x\) rất gần \(a\) (\(x\rightarrow a\)).