Bài 15. Giới hạn của dãy số

Cho $P(n), Q(n)$ lần lượt là các đa thức bậc $m, k$ theo biến $n$ :

$ \begin{aligned} & P(n)=a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\cdots+a_1 n+a_0\left(a_m \neq 0\right) \\ & Q(n)=b_k n^k+b_{k-1} n^{k-1}+\cdots+b_1 n+b_0\left(b_k \neq 0\right) \end{aligned} $

Khi đó $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}=\lim \dfrac{a_m n^m}{b_k n^k}$, viết tắt $\dfrac{P(n)}{Q(n)} \sim \dfrac{a_m n^m}{b_k n^k}$, ta có các trường hợp sau :

🔸Nếu $(m<k)$ (bậc của tử < bậc của mẫu) thì $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}=0$.

🔸Nếu $(m=k)$ (bậc của tử = bậc của mẫu) thì $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}=\dfrac{a_m}{b_k}$.

🔸Nếu $(m>k)$ (bậc của tử > bậc của mẫu) thì $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}=\left\{\begin{aligned}+\infty & \text{ khi } a_m b_k>0 \\ -\infty & \text { khi } a_m b_k<0\end{aligned}\right.$.

Chú ý: Nếu $P(n), Q(n)$ có chứa căn thức thì ta vẫn tính được "bậc" của nó. Cụ thể $\sqrt[n]{n^k}$ thì có bậc là $\dfrac{k}{n}$. Ví dụ $\sqrt{n}$ có bậc là $\dfrac{1}{2}, \sqrt[3]{n^4}$ có bậc là $\dfrac{4}{3}, \ldots$

Các kết quả trên giúp tính nhanh được giới hạn của dãy số, đặc biệt hiệu quả cho các câu hỏi trắc nghiệm.

Ví dụ 1. Tính $\lim \dfrac{3 n^3-5 n^2+1}{2 n^3+6 n^2+4 n+5}$.

Giải

$\lim \dfrac{3 n^3-5 n^2+1}{2 n^3+6 n^2+4 n+5}=\lim \dfrac{3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^3}}{2+\dfrac{6}{n}+\dfrac{4}{n^2}+\dfrac{5}{n^3}}=\dfrac{3}{2}$

Giải nhanh: $ \dfrac{3 n^3-5 n^2+1}{2 n^3+6 n^2+4 n+5} \sim \dfrac{3 n^3}{2 n^3} \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \dfrac{3}{2}$

Sử dụng MTCT (chọn nhanh đáp án cho câu hỏi trắc nghiệm):

Ví dụ 2: Tính $\lim \dfrac{n+2 n^2}{n^3+3 n-1}$

Giải

Ta có $\lim \dfrac{n+2 n^2}{n^3+3 n-1}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}}=\dfrac{0}{1}=0$.

Giải nhanh: Bậc tử < bậc mẫu $\rightarrow$ kết quả bằng 0 .

Ví dụ 3: Tính $\lim \dfrac{n^7+n^2}{n^3+3 n-1}$

Giải

$\lim \dfrac{n^7+n^2}{n^3+3 n-1} \approx \dfrac{n^7}{n^3}=n^4=+\infty$

Giải nhanh: Bậc tử > bậc mẫu $\rightarrow$ kết quả bằng $+\infty$.

Ví dụ 4: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\dfrac{2 n+b}{5 n+3}$ trong đó $b$ là tham số thực. Để dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, giá trị của $b$ bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có $\lim u_n=\lim \dfrac{2 n+b}{5 n+3}=\lim \dfrac{2+\dfrac{b}{n}}{5+\dfrac{3}{n}}=\dfrac{2}{5}(\forall b \in \mathbb{R})$

Giải nhanh : $\dfrac{2 n+b}{5 n+3} \sim \dfrac{2 n}{5 n} \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \dfrac{2}{5}$ với mọi $b \in \mathbb{R}$.

Ví dụ 5: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\dfrac{4 n^2+n+2}{a n^2+5}$. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $2$, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Giải

$2=\lim u_n=\lim \dfrac{4 n^2+n+2}{a n^2+5}=\lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{a+\dfrac{5}{n^2}}=\dfrac{4}{a}(a \neq 0) \Leftrightarrow a=2 .$

Giải nhanh: $2 \sim \dfrac{4 n^2+n+2}{a n^2+5} \sim \dfrac{4 n^2}{a n^2} \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \dfrac{4}{a} \Leftrightarrow a=2$.

Ví dụ 6: Tính giới hạn $L=\lim \dfrac{\left(n^2+2 n\right)\left(2 n^3+1\right)(4 n+5)}{\left(n^4-3 n-1\right)\left(3 n^2-7\right)}$.

Giải

$L=\lim \dfrac{\left(n^2+2 n\right)\left(2 n^3+1\right)(4 n+5)}{\left(n^4-3 n-1\right)\left(3 n^2-7\right)}=\lim \dfrac{\left(1+\dfrac{2}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n^3}\right)\left(4+\dfrac{5}{n}\right)}{\left(1-\dfrac{3}{n^3}-\dfrac{1}{n^4}\right)\left(3-\dfrac{7}{n^2}\right)}=\dfrac{1.2 .4}{1.3}=\dfrac{8}{3} \text {. }$

Giải nhanh: $ \dfrac{\left(n^2+2 n\right)\left(2 n^3+1\right)(4 n+5)}{\left(n^4-3 n-1\right)\left(3 n^2-7\right)} \sim \dfrac{n^2 \cdot 2 n^3 \cdot 4 n}{n^4 \cdot 3 n^2} \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \dfrac{8}{3}$.