Bài 2: Giải tam giác

I. TÍNH CÁC CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC DỰA TRÊN MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong các dữ kiện sau:

- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó;

- Biết độ dài ba cạnh;

- Biết độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kề với cạnh đó.

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}=60^\circ,\widehat{C}=45^\circ,AB=5\). Tính:

a) Số đo góc \(\widehat{A}\)?

b) Tính độ dài cạnh \(AC\) và \(BC\)?

Giải:

a) Áp dụng tổng ba góc trong một tam giác \(180^0\) , ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\)

suy ra \(\widehat{A}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{C}=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\).

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\) do đó:

\(AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{5.\sin60^\circ}{\sin45^\circ}\approx6,12\) ;

\(BC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin A}=\dfrac{5.\sin60^\circ}{\sin75^\circ}\approx4,48\).

II. DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC=a,CA=b,AB=c\). Khi đó diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) là:

•  \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C.\)
• \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)     (\(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác)

Chú ý. Trong tam giác \(ABC\), ta kí hiệu:

• \(A,B,C\) là các góc của tam giác tại các đỉnh tương ứng.
• \(a,b,c\) tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh \(A,B,C\).
• \(p\) là nửa chu vi.
• \(S\) là diện tích.
• \(R,r\) tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
• \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh \(A,B,C\).

Khi đó:

• \(m^2_a=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4};m^2_b=\dfrac{c^2+a^2}{2}-\dfrac{b^2}{4};m^2_c=\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}.\)
• \(r=\dfrac{S}{p}\).
• \(R=\dfrac{abc}{4S}\).

III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ. Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết \(AH=4\) m, \(HB=20\) m, \(\widehat{BAC}=45^\circ\). Tính chiều cao của cây?

Giải

Trong tam giác vuông \(AHB\) có \(\tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\widehat{ABH}\approx11^\circ19'\)

Ta có \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=90^\circ\Rightarrow\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{ABH}\approx90^\circ-11^\circ19'\approx78^\circ41'\)

suy ra \(\widehat{ACB}=180^\circ-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)\approx56^\circ19'\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\dfrac{AB.\sin\widehat{BAC}}{\sin\widehat{ACB}}\approx17\) m.

Vậy chiều cao của cây là \(17\) m.