Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

a. Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), nửa đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R=1\) nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc \(\alpha\),  \(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\), ta xác định duy nhất một điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\). Khi đó:

• \(\sin\) của góc \(\alpha\) là \(y_0\), kí hiệu là \(\sin\alpha=y_0\).
• \(\cos\) của góc \(\alpha\) là \(x_0\), kí hiệu là \(\cos\alpha=x_0\).
• \(\tan\) của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{y_0}{x_0}\) (\(x_0\ne0\)), kí hiệu là \(\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}\).
• \(\cot\) của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{x_0}{y_0}\left(y_0\ne0\right)\), kí hiệu là \(\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}\).

Các số \(\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha\) được gọi là giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).

b. Nhận xét

\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)\(\left (\alpha\neq 90^\circ \right )\);

​\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) (\(\alpha\neq 0^\circ\) và \(\alpha\neq 180^\circ\));

​\(\tan\alpha=\dfrac{1}{\cot\alpha}\)\(\left (\alpha\notin \left \{ 0^\circ ;90^\circ;180^\circ \right \} \right )\). 

c. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU 

Đối với hai góc bù nhau \(\alpha\) và \(180^\circ-\alpha \), ta có:

\(\sin \left (180^\circ-\alpha\right )=\sin\alpha \);\(\cos \left (180^\circ-\alpha\right )=-\cos\alpha \);

\(\tan \left (180^\circ-\alpha\right )=-\tan\alpha \left ( \alpha \neq 90^\circ \right )\);\(\cot \left (180^\circ-\alpha\right )=-\cot\alpha\left ( 0^\circ< \alpha < 180^\circ \right )\).

Ví dụ.

\(\sin150^\circ=\sin\left ( 180^\circ-30^\circ \right )=\sin30^\circ=\) \(\dfrac{1}{2}\);

\(\tan120^\circ=\tan\left (180^\circ-60^\circ\right )=-\tan60^\circ=-\sqrt{3}\).