Chuyên đề: Đường kính và dây cung của đường tròn

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go ta tính được:

$AI=\sqrt{AO^2+OI^2}=\sqrt{5+\frac{5}{4}}=\frac{5}{2}$.

Kẻ OH $\bot$ AI. Dựa vào hệ thức $OA^2=AI.AH$, ta tính được AH = 2cm. Do đó AC = 2AH = 4cm.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm IK.

Ta có OH là đường trung bình của hình thang CDKI nên OH // IC. Mà OH $\bot$ IK nên IC $\bot$ IK.

Hướng dẫn giải:

a) OI > OH (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông trong tam giác vuông IOH) $\Rightarrow$ CD < AB (dây xa tâm hơn thì bé hơn).

b) IE = OE – OI = OF – OI < OF – OH = HF (vì OI > OH).

Hướng dẫn giải:

Kẻ OI $\bot$ AB, OK $\bot$ CD. Chứng minh hai tam giác vuông OIE và OKE bằng nhau. Từ đó, chứng minh được EB = EC, EA = ED.

Hướng dẫn giải:

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC và BD, cắt AC và BD ở E và F.

a) Chứng minh $\Delta AEO=\Delta BFO$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

b) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Hạ OH $\bot$ BN, OK $\bot$ AM. Chứng minh $\Delta COK=\Delta COH$ suy ra OC là đường phân giác của tam giác AOB.

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh đáy AB, CD của hình thang cân.

MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN là đường trung trực của AB và của CD.

Gọi O là giao điểm của MN với đường trung trực của BC. O thuộc đường trung trực của AB nên OA = OB.

Tương tự, OB = OC, OC = OD.

Vậy OA = OB = OC = OD, do đó (O ; OA) đi qua các điểm A, B, C, D.

Hướng dẫn giải:

a) Kẻ MH $\bot$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\bot$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do $AK = \frac{1}{2}AB$ nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC \backsim \Delta AKC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm$.

Hướng dẫn giải:

Các điểm A, H, E, K thuộc đường tròn có đường kính AE, mà HK là dây của đường tròn nên HK $\le$ AE.

Trong đường tròn (O), ta có AE $\le$ AB. Do đó HK $\le$ AB.

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường cao AH, ta tính được AH = 32cm.

Do AH > HC nên tâm O nằm giữa A và H. Đặt OH = x. Kẻ OM $\bot$ AC.

Ta có: $\Delta AMO \backsim \Delta AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\frac{AO}{AC}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow\frac{32-x}{40}=\frac{20}{32}$.

Từ đó tính được x = 7cm.

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường kính AD thì $\widehat{ACD}={90}^\circ$.

Ta có $AC^2=AH.AH$ nên $AD=\frac{AC^2}{AH}=\frac{b^2}{h}$. Bán kính đường tròn là $\dfrac{b^2}{2h}$.