Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

a. Định nghĩa

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \(ax^2+bx+c\), trong đó \(a,b,c\) là những số thực cho trước (với \(a\ne0\)), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. 

Chú ý

Nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\).

\(\Delta=b^2-4ac\) và \(\Delta=b'^2-ac\), với \(b=2b'\) tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\).

Ví dụ. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai đó.

a) \(f\left(x\right)=x^2-3x+1;\)

b)\(g\left(x\right)=-2x+\dfrac{5}{11};\)

c) \(h\left(x\right)=-2x^3+5x+4.\)

Giải

Biểu thức \(f\left(x\right)\) là tam thức bậc hai, biểu thức \(g\left(x\right),h\left(x\right)\) không phải là tam thức bậc hai.

Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-3x+1\) có \(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.1=5.\) Do đó \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) và \(x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\). 

b. Định lí về dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right).\)

• Nếu \(\Delta< 0\) thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\inℝ.\)
• Nếu \(\Delta=0\) thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\ne-\dfrac{b}{2a}\) và \(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=0.\)
• Nếu \(\Delta>0\) thì tam thức \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\left(x_1< x_2\right)\). Khi đó \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in\left(-\infty;x_1\right)\cup\left(x_2;+\infty\right)\); \(f\left(x\right)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in\left(x_1;x_2\right).\)

Chú ý. Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay \(\Delta\) bởi \(\Delta'\).

Ví dụ. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3x^2-x+1\);

b) \(-x^2+4x+5\);

c) \(x^2+6x+9\).

Giải

a) \(f\left(x\right)=3x^2-x+1\) có \(\Delta=-11< 0\) và \(a=3>0\) nên \(f\left(x\right)>0\) với mọi \(x\inℝ.\)

b) \(g\left(x\right)=-x^2+4x+5\) có \(\Delta'=9>0\) và \(a=-1< 0\) và có hai nghiệm phân biệt \(x_1=-1;x_2=5\) do đó \(g\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in\left(-\infty;-1\right)\cup\left(5;+\infty\right)\) và \(g\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left(-1;5\right).\)

c) \(h\left(x\right)=x^2+6x+9\) có \(\Delta=0\) và \(a=1>0\) nên \(h\left(x\right)\) có nghiệm kép \(x=-3\) và \(h\left(x\right)>0\) với mọi \(x\ne-3.\)

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

a. Định nghĩa 

• Bất phương trình bậc hai ẩn \(x\) là bất phương trình có dạng \(ax^2+bx+c>0\) (hoặc \(ax^2+bx+c\ge0;ax^2+bx+c< 0;ax^2+bx+c\le0\)) trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho và \(a\ne0.\)
• Số thực \(x_0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c> 0\) nếu \(ax_0^2+bx_0+c>0\). Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c> 0\) gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.
• Giải bất phương trình bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c> 0\) là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) (nếu \(a>0\)), hay trái dấu với hệ số \(a\) (nếu \(a< 0\)).

Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c>0\) (hoặc \(ax^2+bx+c\ge0;ax^2+bx+c< 0;ax^2+bx+c\le0\)) ta cần xét dấu tam thức \(ax^2+bx+c\) từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ. Giải các bất phương trình sau:

a) \(2x^2-5x+3\ge0\);                                                   b) \(-x^2+3x-7>0\);

Giải

a) Tam thức \(f\left(x\right)=2x^2-5x+3\) có \(\Delta=1>0\), \(a=2>0\) và có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1;x_2=\dfrac{3}{2}\) do đó \(f\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right)\), \(f\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in\left(1;\dfrac{3}{2}\right)\) và  \(f\left(x\right)=0\) với \(x\in\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x^2-5x+3\ge0\) là \(S=(-\infty;1]\cup[\dfrac{3}{2};+\infty)\).

b) Tam thức \(g\left(x\right)=-x^2+3x-7\) có \(\Delta'=-17< 0\), hệ số \(a=-1< 0\) nên \(g\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\inℝ.\) Suy ra bất phương trình \(-x^2+3x-7>0\) vô nghiệm.