Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài toán 1: Tính $\lim\limits _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]$ khi $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ và $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} g(x)= \pm \infty$

Phương pháp giải:

🔹Ta biến đổi $\lim\limits _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{g(x)}}$ để đưa về dạng $\dfrac{0}{0}$

🔹Hoặc biến đổi $\lim\limits _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{f(x)}}$ để đưa về dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Ví dụ 1: Tính $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+5}=0$.

Giải:

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+5}= \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \sqrt{1+\dfrac{5}{x}}=1 .$

Bài toán 2: Tính $\lim\limits _{x \rightarrow x_0}[f(x) \pm g(x)]$ khi $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ và $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} g(x)=\infty$.

Phương pháp giải: Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

Ví dụ 2: Tính $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})$.
Giải
$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{x+1-x+3}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{3}{x}}\right)}=0$.