Bài 2: Đa thức một biến

1. ĐA THỨC MỘT BIẾN

Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến đó.

Ví dụ. Các biểu thức: \(2x;-3y^2;-6;4t^3;10\) là những đơn thức một biến.

Chú ý. Ta có thể cộng, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

Ví dụ. Tính:

a) \(3x^2+4x^2\)        b) \(2t-5t\)      c)\(4y.\left(-2y^3\right)\)    d) \(\dfrac{4z^4}{2z^3}\left(z\ne0\right)\).

Giải

a) \(3x^2+4x^2=7x^2\).

b)\(2t-5t=-3t\).

c)\(4y.\left(-2y^3\right)=-8y^4\).

d)\(\dfrac{4z^4}{2z^3}=2z\).

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến.

Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

Chú ý. Ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các đa thức một biến.

Quy ước: \(P=0\) được gọi là đa thức không.

Ví dụ. Những biểu thức nào sau đây là đa thức một biến

\(M=2;N=4x+y;A=2-3y+y^2;B=\dfrac{2t}{3-5t};C=\dfrac{5z-1}{2}\)

Giải

Các đa thức một biến là

\(M=2;A=2-3y+y^2;C=\dfrac{5z-1}{2}\)

2. CÁCH BIỂU DIỄN ĐA THỨC MỘT BIẾN

• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã được viết thành đa thức thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc \(0\) gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(P\left(x\right)=3x+2x^2-5+4x^3+2x-2x^3\)

Giải

Thu gọn đa thức

\(P\left(x\right)=3x+2x^2-5+4x^3+2x-2x^3\)

\(P\left(x\right)=\left(3x+2x\right)+2x^2-5+\left(4x^3-2x^3\right)\)

\(P\left(x\right)=5x+2x^2-5+2x^3\)

Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến ta được \(P\left(x\right)=2x^3+2x^2+5x-5\) có sõ mũ cao nhất của \(x\) là \(3\) vậy đa thức \(P\left(x\right)\) có bậc là \(3.\)

Hệ số của \(2x^3\) là \(2\) là hệ số cao nhất, \(-5\) là hệ số tự do của đa thức \(P\left(x\right)\).

Chú ý.

• Số thực khác \(0\) là đa thức bậc \(0.\)
• Số không được coi là đa thức không có bậc.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2.\)

Giải

Ta thu gọn đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2\)

\(P=\left(x^3-x^3\right)+2x^2+4x-2\)

\(P=2x^2+4x-2\)

Trong dạng thu gọn của \(P\), hạng tử có bậc cao nhất là \(2x^2\) nên bậc của \(P\) là \(2\); hệ số cao nhất là \(2\); hạng tử bậc không là \(-2\) nên hệ số tự do là \(-2.\)

3. GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

  Ví dụ. Cho đa thức \(A\left(x\right)=3x^4-2x^3+5x-9.\) Hãy tính giá trị của đa thức khi \(x=1\).

Giải

Khi \(x=1\) ta có \(A\left(1\right)=3.1^4-2.1^3+5.1-9=3-2+5-9=-3\)

Khi đó ta nói đa thức \(A\left(x\right)\) có giá trị là \(-3\) khi \(x=1.\)

4. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Nếu đa thức \(P\left(x\right)\) có giá trị bằng \(0\) tại \(x=a\) thì ta nói \(a\) (hoặc \(x=a\)) là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ. Đa thức \(P\left(x\right)=x^2-x-6\) có các nghiệm là \(x=-2,x=3\) vì \(P\left(-2\right)=\left(-2\right)^2-\left(-2\right)-6=0;P\left(3\right)=3^2-3-6=0\)

​