Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đồi $q$.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q$, ta có công thức truy hồi:
$u_{n+1}=u_n q \text { với } n \in \mathbb{N}^* \text {. }$
Đặc biệt:
- Khi $q=0$, cấp số nhân có dạng $u_1, 0,0, \ldots, 0, \ldots$
- Khi $q=1$, cấp số nhân có dạng $u_1, u_1, u_1, \ldots, u_1, \ldots$
- Khi $u_1=0$ thì với mọi $q$, cấp số nhân có dạng $0,0,0, \ldots, 0, \ldots$
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức
$u_n=u_1 \cdot q^{n-1} \text { với } n \geq 2$
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$u_k^2=u_{k-1} \cdot u_{k+1} \text {, với } k \geq 2 \text {. }$
Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội $q \neq 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$.
Khi đó $S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.
Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là $u_1,\ u_1,\ u_1,\ \ldots,\ u_1,\ \ldots$ khi đó $S_n=n u_1$.
Chứng minh $\forall n \geq 1, u_{n+1}=u_n \cdot q$ trong đó $q$ là một số không đổi.
Nếu $u_n \neq 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ thì ta lập tỉ số $T=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
* $T$ là hằng số thì $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân có công bội $q=T$.
* $T$ phụ thuộc vào $n$ thì $\left(u_n\right)$ không là cấp số nhân.
Ví dụ 1: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó:
a) $u_n=(-3)^{2 n+1}$;
b) $u_n=(-1)^n \cdot 5^{3 n+2}$;
c) $\left\{\begin{aligned}u_1=2 \\ u_{n+1}=u_n^2\end{aligned}\right.$;
d) $\left\{\begin{aligned}u_1=3 \\ u_{n+1}=\dfrac{9}{u_n}\end{aligned}\right.$.
Lời giải
a) Ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(-3)^{2 n+3}}{(-3)^{2 n+1}}=(-3)^2=9$ (không đổi). Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=9$.
b) Ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(-1)^{n+1} \cdot 5^{3(n+1)+2}}{(-1)^n \cdot 5^{3 n+2}}=-1 \cdot 5^3=-125$ (không đồi). Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=-125$.
c) Ta có $u_2=u_1^2=4, u_3=u_2^2=16, u_4=u_3^2=256$, suy ra $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{4}{2}=2$ và $\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{256}{16}=16 \Rightarrow \dfrac{u_2}{u_1} \neq \dfrac{u_4}{u_3}$. Do đó $\left(u_n\right)$ không là cấp số nhân.
d) $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{9}{u_n}}{\dfrac{9}{u_{n-1}}}=\dfrac{u_{n-1}}{u_n} \Rightarrow u_{n+1}=u_{n-1}, \forall n \geq 2$. Do đó có:
$u_1=u_3=u_5=\ldots=u_{2 n+1} \ldots$ (1)
Và $u_2=u_4=u_6=\ldots=u_{2 n}=\ldots$ (2)
Theo đề bài có $u_1=3 \Rightarrow u_2=\dfrac{9}{u_1}=3$ (3)
Từ (1), (2),(3) suy ra $u_1=u_2=u_3=u_4=u_5=\ldots=u_{2 n}=u_{2 n+1} \ldots$ Kết luận $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=1$.
Để xác định số hạng thứ $k$, ta sử dụng công thức: $u_k=u_1 \cdot q^{k-1}$.
Để tính tổng của $n$ số hạng, ta sử dụng công thức: $S_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}, q \neq 1$. Nếu $q=1$ thì $u_1=u_2=u_3=\ldots=u_n$, do đó $S_n=n u_1$.
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) $\left\{\begin{array}{l}u_1+u_5=51 \\ u_2+u_6=102\end{array}\right.$
b) $\left\{\begin{array}{l}u_2=6 \\ S_3=43 .\end{array}\right.$
Lời giải
a) $\left\{\begin{array}{l}u_1+u_5=51 \\ u_2+u_6=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1+u_1 q^4=51 \\ u_1 q+u_1 q^5=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1\left(1+q^4\right)=51 \quad(*) \\ u_1 q\left(1+q^4\right)=102(* *)\end{array}\right.\right.\right.$
Lấy $\dfrac{\left({ }^{* *}\right)}{(*)} \Leftrightarrow \dfrac{u_1 q\left(1+q^4\right)}{u_1\left(1+q^4\right)}=\dfrac{102}{51} \Leftrightarrow q=2 \Rightarrow u_1=\dfrac{51}{1+q^4}=\dfrac{51}{17}=3$.
Kết luận có công bội $q=2$ và số hạng đầu tiên $u_1=3$.
Kết luận: $u_1=3$ và $q=2$
b) $\left\{\begin{array}{l}u_2=6 \\ S_3=43\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1 q=6 \\ u_1+u_2+u_3=43\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1 q=6 \\ u_1+u_1 q+u_1 q^2=43\end{array}\right.\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1 q=6 \quad(*) \\ u_1\left(1+q+q^2\right)=43 \quad(* *)\end{array}\right.$
Lấy $\dfrac{(*)}{(* *)} \Leftrightarrow \dfrac{u_1 q}{u_1\left(1+q+q^2\right)}=\dfrac{6}{43}$
$\begin{aligned} & \Leftrightarrow 43 q=6\left(1+q+q^2\right) \Leftrightarrow 6 q^2-37 q+6=0 \Leftrightarrow q=6 \text{ hoặc} q=\dfrac{1}{6} \\ & \text { Với } q=6 \Rightarrow u_1=1 \text {. Với } q=\dfrac{1}{6} \Rightarrow u_1=36 \text {. } \\ & \text { Kết luận }\left\{\begin{array}{l}q=6 \\ u_1=1\end{array} \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l}q=\dfrac{1}{6} \\ u_1=36\end{array}\right.\right.\end{aligned}$
Toán lớp 11 (Cánh Diều)