Bài 2. Cấp số cộng

I - Tóm tắt lý thuyết

1 - Định nghĩa

✅ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.

✅ Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

✅ Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng với công sai $d$ ta có công thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+d, n \in \mathbb{N}^*$. Đặc biệt khi $d=0$ thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2 - SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1
Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n=u_1+(n-1) d, n \geq 2$.

3 - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, k \geq 2$.

4 - TỔNG $n$ SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3
Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_n$. Khi đó $S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$.
Chú ý: Vì $u_n=u_1+(n-1) d$ nên công thức trên có thể viết lại là $S_n=n u_1+\dfrac{n(n-1)}{2} d$.

II - Một số dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh một dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng

✅ Để chứng minh dāy số $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng, ta xét $A=u_{n+1}-u_n$

- Nếu $A$ là hằng số thì $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=A$.
- Nếu $A$ phụ thuộc vào $n$ thì $\left(u_n\right)$ không là cấp số cộng.

✅ Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $a+c=2b$.

Ví dụ 1: Trong các dāy số sau, dāy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:
a) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=19 n-5$

b) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=-3 n+1$

c) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $\left.u_n=n^2+n+1 \mathrm{~d}\right)$. Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=(-1)^n+10 n$

Lời giải

a) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=19 n-5$
Ta có $u_{n+1}-u_n=19(n+1)-5-(19 n-5)=19$. Vậy $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=19$ và số hạng đầu $u_1=19.1-5=14$.

b) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=-3 n+1$
Ta có $u_{n+1}-u_n=-3(n+1)+1-(-3 n+1)=-3$. Vậy $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=-3$ và số hạng đầu $u_1=-3.1+1=-2$.

c) Dāy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=n^2+n+1$
Ta có $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+(n+1)+1-\left(n^2+n+1\right)=2 n+2$, phụ thuộc vào $n$
Vậy $\left(u_n\right)$ không là cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm số hạng, công sai, tính tổng $k$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng

✅ Muốn tìm số hạng thứ $k$, trước tiên ta phải tìm $u_1$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức:
$u_k=u_1+(k-1) d$
✅ Muốn tính tổng của $k$ số hạng đầu tiên, ta phải tìm $u_1$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức:
$S_k=\dfrac{k\left(u_1+u_k\right)}{2}=\dfrac{k\left[2 u_1+(k-1) d\right]}{2}$

Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:
a) $\left\{\begin{aligned}u_5&=19 \\ u_9&=35\end{aligned}\right.$

b) $\left\{\begin{aligned}u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26\end{aligned}\right.$

c) $\left\{\begin{aligned}u_3+u_5=1 \\ s_{12}=129\end{aligned}\right.$

Lời giải

a) $\left\{\begin{aligned}u_5=19 \\ u_9=35\end{aligned}\right.$ (1). Áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1) d$, ta có: (1) $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1+4 d=19 \\ u_1+8 d=35\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1=3 \\ d=4\end{aligned}\right.\right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=3$, công sai $d=4$.
Số hạng thứ $20: u_{20}=u_1+19 d=3+19.4=79$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left(2 u_1+19 d\right)}{2}=10(2.3+19.4)=820$

b) $\left\{\begin{aligned}u_2-u_3+u_5=10 \\ u_4+u_6=26\end{aligned}\right.$ (1). Ta cūng áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1) d$ :
(1) $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1+d-\left(u_1+2 d\right)+u_1+4 d=10 \\ u_1+3 d+u_1+5 d=26\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1+3 d=10 \\ 2 u_1+8 d=26\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1=1 \\ d=3 .\end{aligned}\right.\right.\right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=1$, công sai $d=3$.
Số hạng thứ $20: u_{20}=u_1+19 d=1+19.3=58$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: $S_{20}=\frac{20\left(2 u_1+19 d\right)}{2}=10(2.1+19.3)=590$

c) $\left\{\begin{aligned}u_3+u_5=14 \\ s_{12}=129\end{aligned}\right.$
(1). Áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1) d, S_n=\dfrac{n\left[2 u_1+(n-1) d\right]}{2}$ Ta có:
(1) $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1+2 d+u_1+4 d=14 \\ 6\left(u_1+u_{12}\right)=129\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}2 u_1+6 d=14 \\ 12 u_1+66 d=129\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}u_1=\frac{5}{2} \\ d=\frac{3}{2} .\end{aligned}\right.\right.\right.$
Vậy số hạng đầu tiên $u_1=\frac{5}{2}$, công sai $d=\frac{3}{2}$.
Số hạng thứ $20: u_{20}=u_1+19 d=\frac{5}{2}+19 \cdot \frac{3}{2}=31$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: $S_{20}=\dfrac{20\left(2 u_1+19 d\right)}{2}=10\left(2 \cdot \frac{5}{2}+19 \cdot \frac{3}{2}\right)=335$