Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ.

a. Số trung bình

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu \(X_1,X_2,...,X_n\), kí hiệu là \(\overline{X}\) được tính bằng công thức:

\(\overline{X}=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n}\)

Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

 \(\overline{X}=\dfrac{m_1X_1+m_2X_2+...+m_kX_k}{n}\) 

trong đó \(m_k\) là tần số của giá trị \(X_k\) và \(n=m_1+m_2+...+m_k.\)

Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu.

b. Trung vị

Khi mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác) người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

• Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường còn số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Ví dụ 1. Cho bảng phân bố tần số

Khối lượng \(30\) quả trứng gà trong một rổ trứng gà

a) Tính khối lượng trung bình của mỗi quả trứng gà ?

b) Tìm số trung vị cho mẫu số liệu trên.

Giải

a) Khối lượng trung bình của mỗi quả trứng gà là

\(\overline{X}=\dfrac{25.3+30.5+35.10+40.6+45.4+50.2}{30}=36,5\) (g)

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự

Do số giá trị của mẫu số liệu là \(30\) nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ \(15\) (có giá trị là \(35\)) và \(16\) (có giá trị là \(35\)) của mẫu số liệu vậy số trung vị là \(\dfrac{35+35}{2}=35.\)

2. TỨ PHÂN VỊ

Để tìm ra các tứ phân vị của mẫu số liệu có \(n\) giá trị, ta làm như sau:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là \(Q_2\).
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ). Giá trị này là \(Q_1\).
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ). Giá trị này là \(Q_3\).

\(Q_1,Q_2,Q_3\) được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Chú ý. \(Q_1\) được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, \(Q_3\) được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ý nghĩa. Các điểm \(Q_1,Q_2,Q_3\) chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa \(25\%\) giá trị.

Ví dụ 2. Thời gian đọc sách (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:

Hãy tìm các tứ phân vị?

Giải

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm

Vì \(n=10\) là số chẵn nên \(Q_2\) là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

\(Q_2=\dfrac{2+2}{2}=2\).

\(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\):

tìm được \(Q_1\) là giá trị chính giữa, \(Q_1=1.\)

\(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\):

tìm được \(Q_3\) là giá trị chính giữa, \(Q_3=3.\)

3. MỐT

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Chú ý:

- Mốt có thể không là duy nhất.

- Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.

Ví dụ 3. Hãy tìm mốt trong ví dụ 1 và ví dụ 2.

Giải

Trong ví dụ 1, vì số trứng gà có khối lượng \(35\) g là nhiều nhất (\(10\) quả) nên mốt là \(35\).

Trong ví dụ 2, vì số học sinh đọc \(2\) tiếng mỗi ngày là lớn nhất (\(3\) học sinh) nên mốt là \(2\).