Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Nếu \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)\) thì

\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1+x_2;y_1+y_2\right);\)

\(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x_1-x_2;y_1-y_2\right);\)

\(k\overrightarrow{u}=\left(kx_1;ky_1\right)\) với \(k\inℝ.\)

Nhận xét: Hai vectơ  \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)\) (\(\overrightarrow{v}\ne\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số thực \(k\) sao cho \(x_1=kx_2;y_1=ky_2.\)

Ví dụ: 

Trong mặt phẳng tọa độ cho \(\overrightarrow{a}=\left(-1;2\right);\overrightarrow{b}=\left(3;1\right);\overrightarrow{c}=\left(-3;6\right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}.\)

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{x}\) sao cho \(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{3b}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}.\)

c) Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\) có cùng phương không? Vì sao?

Giải

a)Ta có: \(2\overrightarrow{b}=\left(6;2\right)\) do đó:

\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=\left(5;4\right)\Rightarrow\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\left(8;-2\right).\)

b) Ta có:\(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{3b}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\Rightarrow\overrightarrow{x}=\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\right)-3\overrightarrow{b}\)

Trong đó \(2\overrightarrow{c}=\left(-6;12\right)\Rightarrow\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\left(-7;14\right)\)

và \(3\overrightarrow{b}=\left(9;3\right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{x}=\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\right)-3\overrightarrow{b}=\left(-16;11\right).\)

c) Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\) cùng phương vì \(\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}.\)

II. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

a. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng

Cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right)\) nếu \(M\left(x_M;y_M\right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì \(x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.\)

b. Tọa độ trọng tâm tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có  \(A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right),C\left(x_C;y_C\right)\).

Nếu \(G\left(x_G;y_G\right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì

\(x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}.\)

Ví dụ: Cho ba điểm \(A\left(1;5\right),B\left(-1;1\right),C\left(1;2\right)\).

a) Chứng minh ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(AB.\)

c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4\right);\overrightarrow{AC}=\left(0;-3\right)\).

Vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương (do không tồn tại số thực \(k\) sao cho \(-2=k.0\) và \(-4=k.\left(-3\right)\)) nên ba điểm \(A,B,C\) không cùng nằm trên một đường thẳng, vậy chúng không thẳng hàng.

b) Vì \(M\left(x_M;y_M\right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{1+\left(-1\right)}{2}\\y_M=\dfrac{5+1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=0\\y_M=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M\left(0;3\right)\).

c) Vì \(G\left(x_G;y_G\right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{1+\left(-1\right)+1}{3}\\y_G=\dfrac{5+1+2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{1}{3}\\y_G=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)\).

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

 Nếu \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)\) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2.\)

Nhận xét:

a) Nếu \(\overrightarrow{a}=\left(x;y\right)\) thì \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}.\)

b) Nếu \(A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right)\) thì \(AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\).

c) Hai vectơ  \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)\) (\(\overrightarrow{v}\ne\overrightarrow{0}\)), ta có:

• \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(x_1x_2+y_1y_2=0.\)
• \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x^2_1+y_1^2}.\sqrt{x^2_2+y_2^2}}\). 

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A\left(1;2\right)\) và \(B\left(5;0\right)\). 

a) Chứng minh \(OA\) vuông góc với \(AB\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Tính số đo góc \(\widehat{AOM}\).

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow{OA}=\left(1-0;2-0\right)=\left(1;2\right)\), \(\overrightarrow{AB}=\left(5-1;0-2\right)=\left(4;-2\right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=1.4+2.\left(-2\right)=0\).

Do các vectơ \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{AB}\) đều khác vectơ-không nên \(OA\perp BC\).

b) Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M\left(3;1\right)\). 

Suy ra \(\overrightarrow{OM}=\left(3;1\right)\), \(OM=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\).

\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).

Do đó \(\cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|}=\dfrac{1.3+2.1}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Suy ra \(0^o< \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)< 90^o\) và do đó \(\widehat{AOM}=\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)=45^o\).