Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. BIẾN CỐ

• Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không thể biết trước được trước khi phép thử được thực hiện.
• Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là \(\Omega\).
• Kết quả thuận lợi cho một biến cố \(E\) liên quan đến phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý.  Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu \(\Omega\). Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Nhận xét. Biến cố chắc chắn là tập \(\Omega\). Biến cố không thể là tập \(\varnothing\).

Biến cố đối của biến cố \(E\) là biến cố "\(E\) không xảy ra".

Biến cố đối của \(E\) được kí hiệu là \(\overline{E}\).

Nhận xét. Nếu biến cố \(E\) là tập con của không gian mẫu \(\Omega\) thì biến cố đối \(\overline{E}\) là tập tất cả các phần tử của \(\Omega\) mà không là phần tử của \(E\), vậy biến cố \(\overline{E}\) là phần bù của \(E\) trong \(\Omega\) hay:

\(\overline{E}=C_{\Omega}E\).

Ví dụ. Gieo một đồng tiền xu hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố \(E\): Kết quả hai lần gieo là như nhau.

c) Xác định biến cố đối của biến cố \(E\).

Giải

a) Không gian mẫu là \(\Omega=\left\{SS;SN;NS;NN\right\}\).

b) Biến cố \(E=\left\{SS;NN\right\}\).

c) Biến cố đối của biến cố \(E\) là \(\overline{E}=\left\{SN;NS\right\}\). 

2. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Cho phép thử \(T\) có không gian mẫu là \(\Omega\). Giả thiết rằng các kết quả có thể của \(T\) là đồng khả năng. Khi đó nếu \(E\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\) thì xác suất của \(E\) được cho bởi công thức

\(P\left(E\right)=\dfrac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega\right)}\).

Trong đó \(n\left(\Omega\right)\) và \(n\left(E\right)\) tương ứng là số phần tử của tập \(\Omega\) và tập \(E.\)

Nhận xét

• Với mỗi biến cố \(E\), ta có \(0\le P\left(E\right)\le1.\)
• \(P\left(\Omega\right)=1.\)
• \(P\left(\varnothing\right)=0.\)

Ví dụ. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu. Tính xác suất sao cho hai quả đó:

a) Khác màu.                                                           b) Cùng màu.

Giải

Mỗi lần lấy đồng thời hai quả cầu cho ta một chỉnh hợp cập hai của bảy phần tử. Do đó không gian mẫu của phép thử là: \(n\left(\Omega\right)=C_7^2=21\).

Gọi \(A\) là biến cố: hai quả khác màu và \(B\): hai quả khác màu.

a) Lấy đồng thời hai quả khác màu: Lấy một quả cầu trắng trong ba quả cầu trắng có \(C_3^1\) cách lấy và lấy một quả cầu đen trong bốn quả cầu đen có \(C_4^1\) cách lấy, vậy \(n\left(A\right)=C_3^1.C_4^1=12\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}.\)

b) Lấy đồng thời hai quả cùng màu:

Khả năng \(1:\) Lấy hai quả màu trắng có \(C_3^2\) cách lấy.

Khả năng 2: Lấy hai quả màu đen có \(C_4^2\) cách lấy.

vậy \(n\left(B\right)=C_3^2+C_4^2=9\)

 suy ra \(P\left(B\right)=\dfrac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}.\)

3. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Ví dụ. Xác suất của một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là \(0,001\) được coi là rất bé.