Bài tập tự luận (Nâng cao)
HỌC TRỰC TUYẾN OLM.VN
Cho 5 điểm $A, B, C, D, E$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D}$.
b) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{E D}$.
Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$. Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0}$.
Cho ngũ giác đều $A B C D E$ tâm $O$.
a) Chứng minh rằng: hai vectơ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{O D}$.
b) Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{E C}$ cùng phương.
c) Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$.
Chứng minh các khẳng định sau:
a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $|\vec{b}| \geq|\vec{a}|$ thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|-|\vec{a}|$. c) $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B C=30^{\circ}$ và $B C=a \sqrt{5}$.
Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$ và $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$.
Cho hình vuông $A B C D$ có tâm là $O$ và cạnh $a . M$ là một điểm bất kỳ. a) Tính $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|,|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C B}|,|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}|$ b) Chứng minh rằng $\vec{u}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$. Tính độ dài vectơ $u$
Cho hình bình hành $A B C D$ tâm $O . \mathrm{M}$ là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ c) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}$
Cho tam giác $A B C$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{0}$ c) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}$ với $O$ là điểm bất kì.