Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Ở hình vẽ trên, AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O'). Tính số đo góc AKB biết số đo góc AMB bằng 50°.

Ở hình vẽ trên, Bx là tiếp tuyến, CD // BE, $\widehat{DME}=40°$. Tính số đo $\widehat{xBC}$.

Cho đường tròn (O), tiếp tuyến của đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B cắt nhau tại M. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn (O) tại C. MC cắt đường tròn (O) tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K. Chứng minh:

a) MK² = AK.EK;

b) MK = KB.

(Tính chất phương tích của một điểm với một đường tròn) Cho đường tròn (C) tâm O với I là trung điểm của dây AB không đi qua O. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C₁) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng:

a) Tích AP.AQ không đổi.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B.

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E). Tia phân giác của góc DBE cắt DE tại I. Chứng minh rằng: 

a) $\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{CD}{CE}$;

b) $AI = AB = AC$;

c) $CI$ là tia phân giác của góc $DCE$.

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; r), (R > r) tiếp xúc trong tại A. Dây BC của (O ; R) tiếp xúc với (O’ ; r) tại M (ba điểm A, O, M không thẳng hàng). Chứng minh tia AM là tia phân giác của góc BAC.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ∈ (O), F ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

a) MENF là hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) ME.NA = MF.MD.

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi BD là dây của đường tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đường tròn, I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.