Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Ở hình vẽ trên, $BD$ là tia phân giác góc $ABC$. Chứng minh rằng $\widehat{AHD}=\widehat{BKE}$.

Ở hình vẽ trên, sđ $\overgroup{AB}=100°$, sđ $\overgroup{ED}=90°,$ $\widehat{P}=25°,$ $\widehat{AIE}=70°$. Hãy tìm số đo cung $BC$. 

Trên đường tròn (O) cho các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CD và DA. Chứng minh các đường thẳng MQ và NP vuông góc với nhau.

Trên đường tròn tâm O bán kính R, kẻ ba dây cung liên tiếp bằng nhau AB, BC và CD (mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BIC}=\widehat{BKD}\).

b) Chứng mình rằng BC là tia phân giác góc KBD.

Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC. Chứng minh rằng BE² = EP.EA.

Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C nằm trên đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt BC tại D. Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AM tại I. Chứng minh rằng AM $\bot$ DI.

Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm thuộc cung BC, E là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng AC² = AD.AE.

Cho đường tròn tâm O và dây AB. Trên hai cung AB lấy lần lượt các điểm M và N. Hai tia AM và NB cắt nhau tại C, hai tia AN và MB cắt nhau tại D. Chứng minh rằng nếu \(\widehat{ACN}=\widehat{ADM}\) thì \(AB\perp CD\).

Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:

a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI // BC;

d) $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}$.