Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{50 a}=\sqrt{25.2}=5 \sqrt{2 a}$

b) $\sqrt{75 x}=\sqrt{25.3 x}=5 \sqrt{3 x}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{28 x^{4} y^{2}}=\sqrt{\left(2 x^{2} y\right)^{2} \cdot 7}=\left|2 x^{2} y\right| \sqrt{7}=-2 x^{2} y \sqrt{7}$ (vì $\left.y \leq 0\right)$.
b) $\sqrt{63 a^{2} b^{4}}=\sqrt{\left(3 a b^{2}\right)^{2} \cdot 7}=\left|3 a b^{2}\right| \sqrt{7}=3 a b^{2} \sqrt{7}$ (vì a $\geq 0$ ).
c) $\sqrt{147(a-1)^{3}}=\sqrt{[7(a-1)]^{2}. 3(a-1)}=7(a-1) \sqrt{3(a-1)}$.
d) $\sqrt{192(y+2)^{5}}=\sqrt{\left[8(y+2)^{2}\right]^{2} \cdot 3(y+2)}=8(y+2)^{2} \sqrt{3(y+2)}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì $2 \sqrt{8}=2 \sqrt{4.2}=4 \sqrt{2};$

$3 \sqrt{32}=3 \sqrt{16.2}=12 \sqrt{2};$

$\sqrt{50}=\sqrt{25.2}=5 \sqrt{2}$.

Nên $A=4 \sqrt{2}-12 \sqrt{2}+5 \sqrt{2}=-3 \sqrt{2}$.
b) Vì $\sqrt{12}=\sqrt{4.3}=2 \sqrt{3}$;

$ 4 \sqrt{27}=4 \sqrt{9.3}=12 \sqrt{3}$;

$3 \sqrt{48}=3 \sqrt{16.3}=12 \sqrt{3}$

Nên $B=2 \sqrt{3}+12 \sqrt{3}-12 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}$.
c) Vì $\sqrt{20}=\sqrt{4.5 \mathrm{a}}=2 \sqrt{5 \mathrm{a}};$

$5 \sqrt{45 \mathrm{a}}=5 \sqrt{9.5 \mathrm{a}}=15 \sqrt{5 \mathrm{a}}$;
$2 \sqrt{125 a}=2 \sqrt{25.5 a}=10 \sqrt{5 a}$

Nên $C=2 \sqrt{5 a}+15 \sqrt{5 a}-10 \sqrt{5 a}=7 \sqrt{5 a} \text {. }$

Hướng dẫn giải:

a)

$\begin{aligned} M &=\sqrt{4(x-1)}-\sqrt{9(x-1)}-\sqrt{16(x-1)} \\&=2 \sqrt{x-1}-3 \sqrt{x-1}-4 \sqrt{x-1} \\ &=-5 \sqrt{x-1} . \end{aligned}$
b) $N=\sqrt{25(y+4)}+\sqrt{36(y+4)}-2 \sqrt{81(y+4)}$

$=5 \sqrt{y+4}+6 \sqrt{y+4}-18 \sqrt{y+4}=-7 \sqrt{y+4}$.
c) $P=\sqrt{(y-2)}-3 \sqrt{64(y-2)}+4 \sqrt{49(y-2)}$

$=\sqrt{y-2}-24 \sqrt{y-2}+28 \sqrt{y-2}$ $=5 \sqrt{y-2}$.

Hướng dẫn giải:

a) $A=4 \sqrt{x^{2}+1}-8 \sqrt{x^{2}+1}+25 \sqrt{x^{2}+1}=21 \sqrt{x^{2}+1}$.

b) $B=\dfrac{2}{x+y} \cdot \dfrac{|x+y|}{2} \sqrt{3}=\sqrt{3}($ vì $x+y>0)$.

c) $C=\dfrac{3}{3 a-1} \cdot|3 a-1| \sqrt{5 a}=3 \sqrt{5 a}$ (vì a > $\dfrac{1}{3}$ ).

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}}$ nên
$-\dfrac{2}{3} \sqrt{a b}=-\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}} \cdot \sqrt{a b}=-\sqrt{\dfrac{4 a b}{9}}$;
b) $a \sqrt{a^{2}} \text { do  } a >0 \text { nên } a \sqrt{\dfrac{3}{a}}=\sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{a}}=\sqrt{a^{2} \cdot \dfrac{3}{a}}=\sqrt{3 a} .$

c) $a \sqrt{7}=\sqrt{7 a^{2}}$ (Vì ${a} \geq 0$).

d) $b\sqrt{3}=-(-b) \sqrt{3}=-\sqrt{3 b^{2}}$ (vì $b<0$ ).

e) $a b \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{a^{2} b^{2} a}{b}}=\sqrt{a^{3} b}$.

f) $a b \sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\sqrt{a^{2} b^{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}=\sqrt{a b^{2}+a^{2} b}$.

Hướng dẫn giải:

a) $T$ a có $2 \sqrt{3}=\sqrt{2^{2} \cdot 3}=\sqrt{12}<\sqrt{13}$.

b) Vì $7=\sqrt{49}$ và $3 \sqrt{5}=\sqrt{3^{2} .5}=\sqrt{45}<\sqrt{49}$.
Vậy $3 \sqrt{5}<7$.

c) Vì $\dfrac{1}{3} \sqrt{51}=\sqrt{\dfrac{51}{3^{2}}}=\sqrt{\dfrac{17}{3}}$ và $\dfrac{1}{5} \sqrt{150}=\sqrt{\dfrac{150}{5^{2}}}=\sqrt{6}$ nên
$\sqrt{6}>\sqrt{\dfrac{17}{3}} \Rightarrow \dfrac{1}{5} \sqrt{150}>\dfrac{1}{3} \sqrt{51} .$

d) Vì $\dfrac{1}{2} \sqrt{6}=\sqrt{\dfrac{6}{2^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ và $6 \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1.36}{2}}=\sqrt{18}$

nên $\sqrt{18}>\sqrt{\dfrac{3}{2}} \Rightarrow \dfrac{1}{2} \sqrt{6}<6 \sqrt{\dfrac{1}{2}} \text {. }$

Hướng dẫn giải:

Đưa một thừa số vào trong dấu căn rồi sắp thứ tự các số trong dấu căn.
a) Ta có $3 \sqrt{5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}, 2 \sqrt{6}=\sqrt{4.6}=\sqrt{24}, 4 \sqrt{2}=\sqrt{32}$

$\sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$ suy ra $2 \sqrt{6}<\sqrt{29}<4 \sqrt{2}<3 \sqrt{5}$.

b) Ta có $6 \sqrt{2}=\sqrt{6^{2} \cdot 2}=\sqrt{72}, 3 \sqrt{7}=\sqrt{9.7}=\sqrt{63}, \quad 2 \sqrt{14}=\sqrt{2^{2} \cdot 14}=\sqrt{56}$.

$\sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}$ suy ra $\sqrt{38}<2 \sqrt{14}<3 \sqrt{7}<6 \sqrt{2}$

Hướng dẫn giải:

a) $2 \sqrt{6}>3 \sqrt{2}>\sqrt{13}>2 \sqrt{3}$.

b)

$\dfrac{1}{2} \sqrt{5}=\sqrt{\dfrac54}$;
$\dfrac{1}{3} \sqrt{39}=\sqrt{\dfrac{13}{3}}$;
$\dfrac{1}{5} \sqrt{35} = \sqrt{\dfrac75}$;
$\dfrac{1}{4} \sqrt{32} = \sqrt4$.

$\dfrac{1}{3} \sqrt{39}>\dfrac{1}{4} \sqrt{32}>\dfrac{1}{5} \sqrt{35}>\dfrac{1}{2} \sqrt{5}$.