Bài 5. Xác suất của biến cố

I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

- Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù ta đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử).

- Tập hợp \(\Omega\) các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó.

 2. Biến cố

a. Định nghĩa

Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu.

b. Biến cố không. Biến cố chắc chắn

- Tập rỗng: \(\varnothing\) là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).

- Tập hợp không gian mẫu \(\Omega\) gọi là biến cố chắc chắn.

Ví dụ: Khi gieo một xúc xắc, biến cố "mặt xuất hiện có \(7\) chấm" là biến cố không. Biến cố "mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá \(6\)" là biến cố chắc chắn.

c. Biến cố đối

Tập con \(\Omega \setminus A\) xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố \(A\), kí hiệu là \(\overline{A}.\) 

Chú ý: Nếu biến cố \(A\) được mô tả dưới dạng mệnh đề toán học \(Q\) thì biến cố đối \(\overline{A}\) được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề \(Q\)(tức là mệnh đề \(\overline{Q}\)).

Ví dụ. Gieo một đồng tiền xu hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố \(E\): Kết quả hai lần gieo là như nhau.

c) Xác định biến cố đối của biến cố \(E\).

Giải

a) Không gian mẫu là \(\Omega=\left\{SS;SN;NS;NN\right\}\).

b) Biến cố \(E=\left\{SS;NN\right\}\).

c) Biến cố đối của biến cố \(E\) là \(\overline{E}=\left\{SN;NS\right\}\). 

3. Xác suất của biến cố

 Xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là \(P\left(A\right)\), bằng tỉ số \(\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\), trong đó \(n\left(A\right),n\left(\Omega\right)\) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(\Omega\). Như vậy:

\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Ví dụ. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu. Tính xác suất sao cho hai quả đó:

a) Khác màu.                                                           b) Cùng màu.

Giải

Mỗi lần lấy đồng thời hai quả cầu cho ta một chỉnh hợp cập hai của bảy phần tử. Do đó không gian mẫu của phép thử là: \(n\left(\Omega\right)=C_7^2=21\).

Gọi \(A\) là biến cố: hai quả khác màu và \(B\): hai quả khác màu.

a) Lấy đồng thời hai quả khác màu: Lấy một quả cầu trắng trong ba quả cầu trắng có \(C_3^1\) cách lấy và lấy một quả cầu đen trong bốn quả cầu đen có \(C_4^1\) cách lấy, vậy \(n\left(A\right)=C_3^1.C_4^1=12\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}.\)

b) Lấy đồng thời hai quả cùng màu:

Khả năng \(1:\) Lấy hai quả màu trắng có \(C_3^2\) cách lấy.

Khả năng 2: Lấy hai quả màu đen có \(C_4^2\) cách lấy.

vậy \(n\left(B\right)=C_3^2+C_4^2=9\)

 suy ra \(P\left(B\right)=\dfrac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}.\)

II. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

• \(P\left(\varnothing\right)=0;P\left(\Omega\right)=1.\)
•  \(0\le P\left(A\right)\le1\) với mỗi biến cố \(A\).
• \(P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\) với biến cố \(A.\)

III. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Ví dụ: Xác suất của một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là \(0,001\) được coi là rất bé.