Cho hai đường tròn tâm O và tâm O' có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ OO', vẽ hai bán kính OC và O'D song song với nhau. D' là điểm đối xứng của D qua O'.
a. Tứ giác AOBO' là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh rằng OO', AB, CD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
c. Chứng minh rằng A là trực tâm tam giác BCD.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài bán kính của hai đường tròn là R.
a. Xét tứ giác AOBO' có AO = OB = BO' = O'A = R nên nó là hình thoi.
b. Do AOBO' là hình thoi nên AB giao OO' tại trung điểm mỗi đường (1).
Xét tứ giác COD'O' có:
OC = O'D' ( Cùng bằng R)
OC // O'D'
Vậy COD'O' là hình bình hành. Từ đó suy ra OO' giao CD' tại trung điểm mỗi đường (2).
Từ (1) và (2) suy ra OO'; AB; CD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
c. Ta thấy CO song song và bằng O'D nên CDO'O là hình bình hành. Vậy thì CD // OO' hay \(BA\perp CD.\)
Xét tứ giác CAD'B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành. Vậy thì CA // D'B.
Lại có DD' là đường kính nên \(\widehat{D'BD}=90^o\Rightarrow D'B\perp BD.\) Hay ta có \(CA\perp BD.\)
Vậy thì A là giao của ba đường cao hay A là trực tâm tam giác BCD.
Học bài
