Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Vì n, n + 1, n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Vậy tích của 3 số chia hết cho 2.
Lại có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn tồn tại một số chia hết 3 nên tóm lại \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 6.