Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Các kiến thức cần nhớ 
!
Với mọi \(x,y\) :
a) \(\left|x\right|\ge0,\left|x\right|\ge x\ge-\left|x\right|\)
b) \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y cùng dấu hay \(xy\ge0\)
c) \(\dfrac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\dfrac{x}{y}\right|\) với y khác 0
d) \(\left|x\right|.\left|y\right|=\left|xy\right|\)
II. Các dạng toán 
.
Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối.
Cách giải: Đưa bài toán về dạng \(\left|A\right|+a\ge a\) với \(A\) là biểu thức chứa biến và \(a\) là hằng số.
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
\(A=2+\left|x+5\right|\)
Giải:
Ta có: \(\left|x+5\right|\ge0\) với mọi x
Khi đó: \(2+\left|x+5\right|\ge2+0=2\)
=> \(A\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+5=0\)
hay \(x=-5\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất : minA =2 tại x=-5
Bài tập làm thêm:
\(A_1=1,7+\left|x+1,6\right|\)
\(B_1=5+\left|10-x\right|\)
\(C_1=\left|2x+2,8\right|-3,5\)
\(D_1=10\left|5x-10\right|+10\)
\(E_1=200009\left|x-1\right|-1\)
\(F_1=-8,1+19991999\left|10-x\right|\)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
\(B=1,01-\left|x-3\right|\)
Giải:
Ta có: \(\left|x-3\right|\ge0\), với mọi x
=> \(-\left|x-3\right|\le0\)
=> \(1,01-\left|x-3\right|\le1,01-0=1,01\)
=> \(B\le1,01\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x-3=0\)
hay x = 3
Vậy B đạt giá trị lớn nhất: max B =1,01 tại x=3
Bài tập làm thêm:
\(A_2=1,5-\left|x+6\right|\)
\(B_2=-2006-\left|x-8\right|\)
\(C_2=-\left|10,2-3x\right|-14\)
\(D_2=10-10\left|4-x\right|\)
VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(C=5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\)
Giải:
Ta có: \(\left|10x-10\right|\ge0\)
=> \(1,5\left|10x-10\right|+3\ge1,5.0+3=3\)
=> \(\dfrac{15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\le\dfrac{15}{3}=5\)
=> \(\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge-5\)
=> \(5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge5+\left(-5\right)=0\)
=> \(C\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 10x-10=0
hay 10x=10
hay x=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của C: min C =0 tại x=1
Bài tập làm thêm:
\(A_3=20+\dfrac{-10}{12345\left|5x+7\right|+15}\)
\(B_4=\dfrac{32}{31}-\dfrac{32}{2\left|6x-8\right|+31}\)
\(C_3=-\dfrac{5}{1997\left|x-1998\right|-1}+25\)
\(D_3=-\dfrac{6}{2007\left|x-2\right|-3}-1\)
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(D=-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\)
Giải:
Ta có: \(\left|x-2y\right|\ge0;\left|2x+1\right|\ge0\) với mọi x, y
=> \(2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6\ge2.0+3.0+6=6\)
=> \(\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\le\dfrac{24}{6}=4\)
=> \(-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-4\)
=> \(-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-6-4=-10\)
=> \(D\ge-10\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-2y=0\) và \(2x+1=0\)
hay \(x=2y\) và \(x=-\dfrac{1}{2}\)
hay \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của D : min D =-10 tại \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)
Bài tập làm thêm:
\(A_4=-10-\dfrac{15}{2\left|x+1\right|+15\left|y-2\right|+3}\)
\(B_4=\dfrac{-75}{2\left|x-1\right|+15\left|2y-2\right|-3}+1\)
\(C_4=-19+\dfrac{-1997}{2007\left|3x-12\right|+15\left|4y-4\right|-1997}\)
\(D_4=\dfrac{2007}{2007}+\dfrac{-2007}{-2007+\left|2007x-2007\right|+\left|2007-2007y\right|}\)
VD5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}\)
Giải:
\(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}=\dfrac{7\left(3\left|5x-5\right|+5\right)-35+10}{3\left|5x-5\right|+5}=7-\dfrac{25}{3\left|5x-5\right|+5}\)
làm tương tự như ví dụ 2.
Bài tập làm thêm: 
\(A_5=\dfrac{9\left|10x-20\right|}{3\left|10x-20\right|+5}\)
\(B_5=\dfrac{6\left|z-10\right|+14}{2\left|z-10\right|+14}\)
\(C_5=\dfrac{-15\left|t+7\right|-68}{3\left|t+7\right|+12}\)
VD6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(F=\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}\)
Giải:
Ta có:
\(\dfrac{4}{3}.F=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}=\dfrac{12\left|x\right|+8}{12\left|x\right|-15}=\dfrac{12\left|x\right|-15+15+8}{12\left|x\right|-15}=1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\)
Do: \(\left|x\right|\ge0\) nên \(12\left|x\right|-15\ge12.0-15=-15\Rightarrow\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le\dfrac{23}{-15}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le1+\dfrac{23}{-15}=1-\dfrac{23}{15}=-\dfrac{8}{15}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}F\le-\dfrac{8}{15}\)
\(\Rightarrow F\le-\dfrac{2}{5}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=0
Vậy giá trị lớn nhất của F : max \(F=-\dfrac{2}{5}\) tại x=0
Bài tập làm thêm
:
\(A_6=\dfrac{2\left|x\right|+3}{3\left|x\right|-1}\)
\(B_6=\dfrac{2\left|4x-5\right|+12}{\left|4x-5\right|+4}\)
\(C_6=\dfrac{\left|2y+7\right|+13}{2\left|2y+7\right|+6}\)
\(D_6=\dfrac{32+15\left|15-x\right|}{8+6\left|15-x\right|}\)
VD7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\)
Giải:
Ta có: \(\left|3x-3\right|\ge0\)
\(\Rightarrow4\left|3x-3\right|+11\ge4.0+11=11\)
\(\Rightarrow\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le\dfrac{11}{11}=1\)
\(\Rightarrow G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le5+1=6\)
Dấu "=" xảy ra tại | 3x-3|=0
hay 3x-3=0
hay 3x=3
hay x=1
Vậy max G =6 tạ x=1
Bài tập làm thêm:
:
\(A_7=25+\dfrac{100}{4\left|3x+1\right|+50}\)
\(B_7=\dfrac{-5}{9}+\dfrac{10}{3\left|21-15x\right|+2}\)
\(C_7=19+\dfrac{7}{3\left|x+3y\right|+\left|5x-10\right|+1}\)
\(D_7=-\dfrac{6}{5}+\dfrac{14}{5\left|6y-8\right|+\left|3x-1\right|+35}\)
Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\left|x+5\right|+2-x\)
Giải:
\(\left|x+5\right|\ge x+5\)
=>\(A=\left|x+5\right|+2-x\ge x+5+2-x=7\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+5\ge0\)
hay \(x\ge-5\)
Vậy min A=7 tại \(x\ge-5\)
Bài tập làm thêm:
\(A_1=\left|x+6\right|+10-x\)
\(B_1=\left|5-x\right|+x-2\)
\(C_1=\left|2x-1\right|+2x+10\)
\(D_1=\left|5x-6\right|+1+5x\)
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(B=6\left|x-2\right|+6x-6\)
Giải:
Ta có: \(B=6\left|x-2\right|+6x-6=\left|6x-12\right|+6x-6=\left|12-6x\right|+6x-6\)
Vì \(\left|12-6x\right|\ge12-6x\)
=> \(B\ge12-6x+6x-6=6\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(12-6x\ge0\)
Vậy min B =6 đạt tại các giá trị x thỏa mãn: \(12-6x\ge0\)
Bài tập làm thêm :
\(A_2=2\left|x-3\right|+2x+5\)
\(B_2=7+7x+7\left|x+7\right|\)
\(C_2=4\left|x+5\right|+4x-4\)
\(D_4=3\left|1-x\right|+4-3x\)
VD3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(C=-\left|x-5\right|+x+5\)
Giải:
Ta có: \(\left|x-5\right|\ge x-5\)
=> \(-\left|x-5\right|\le-\left(x-5\right)=5-x\)
=> \(C=-\left|x-5\right|+x+5\le5-x+x+5=10\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-5\ge0\)
hay \(x\ge5\)
Vậy max C =10 tại những giá trị \(x\ge5\)
Bài tập làm thêm:
\(A_3=-\left|x-4\right|+x+7\)
\(B_3=-\left|2x+12\right|+18-2x\)
\(C_3=-\left|5-5x\right|+5x+10\)
VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(D=-2\left|x+6\right|+18-2x\)
Giải:
\(D=-\left|2x+12\right|+18-2x\) Làm tương tự như trên.
Bài tập làm thêm:
\(A_4=9x-9-9\left|x+1\right|\)
\(B_4=-2\left|x-5\right|+2x+6\)
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(ab\ge0.\)
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(A=\left|x+2\right|+\left|2-x\right|\)
Giải:
Bài tập làm thêm
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(B=\left|x+5\right|+\left|6+x\right|\)
Giải:
Bài tập làm thêm.
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(C=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)
Giải:
Bài tập làm thêm.
VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(D=-\left|x+1\right|-\left|x-2\right|+6\)
Giải:
Bài tập làm thêm.
VD5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
\(E=-\left|5x-5\right|-\left|x-2\right|-\left|5x-15\right|+4\)
Giải:
Bài tập làm thêm.
VD6: Tìm giá trị bé nhất
