Các phương pháp giải toán về dãy số cách đều

 I. Vài nét cơ bản về dãy số.

Các bạn có thể hiểu dãy số là một dãy các số được viết theo quy luật như là:

VD1: 0; 2; 4; 6;...; 2n : dãy các số tự nhiên chẵn

VD2: 1; 2; 3; 4; ....; n : dãy số tự nhiên

II. Các dạng toán về dãy số cách đều.

Dạng 1: Tìm số số hạng của dãy.

Áp dụng phương pháp giải Toan khoảng cách  ta có công thức: 

Số các số hạng của dãy  = ( số hạng cuối  - số hạng đầu) : đơn vị  khoảng cách +1

Ví dụ 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, 10,.... 100. Tìm số số hạng của dãy trên.

Giải:

 Vì:

4 - 2 = 2 ; 6 - 4 = 2; 8 - 6 = 2 ; ...

Vậy quy luật của dãy số là: Số hạng đứng trước cộng hai đơn vị bằng số hạng đứng sau. Hay là khoảng cách bằng hai

Như vậy số các số hạng của dãy là:

( 100 - 2 ) : 2 + 1 = 50 ( số hạng)

Ví dụ 2: 

Cho dãy 3, 6 , 9 , 12 , 15 , ..., 1002

Tìm số số hạng của dãy trên.

Giải: 

Ta có: 6-3=3; 9-6=3; 12-9=3; .....

Như vậy khoảng cách giữa các số trong dãy là 3

Như vậy số số hạng của dãy là:

(1002-3) :3 +1=334 ( số hạng)

Bài tập áp dụng:

Tìm số số hạng các dãy số sau:

a) 1; 2; 3; 4; ...; 2014

b) 2; 4; 6; 8; 10; ... ; 2014

c) 11; 14 ; 17; ...; 68

d) 1; 3; 5; 7; 9; ....; 197; 199

e) 5; 10; 15; 20; ....; 25555

Dạng 2. Tính tổng của dãy số cách đều

Tổng = (Số đầu + số cuối)x số số hạng :2

Trung bình cộng của dãy số = trung bình cộng của số đầu và số cuối

VD1: Tính tổng A biết:

A = 1+ 2 + 3 + 4  +...+1997

Giải:

Đơn vị khoảng cách là 1

Dãy số có số số hạng là:

(1997 -1):1+1 =1997 ( số hạng)

Tổng A cần tìm là:

(1997 + 1).1997:2=1995003.

Đáp số: 1995003

VD2: Tính tổng:

B = 1 + 5 +9 +13 +...+401

Giải:

Đơn vị khoảng cách là 4.

Dãy số có số số hạng là:

(401-1):4+1=101 ( số hạng)

Tổng cần tìm là:

(401 + 1).101:2=20301.

Đáp số:...

Một số bài tập áp dụng:

a) Tính tổng: A = 2+4 +6 +...+ 10002

b) Tính tổng: B= 5+ 10+15 +20 +25 +... +1995

Dạng 3: Tìm số hạng thứ n của dãy

VD1: Tìm số hạng  thứ 2002 của dãy số: 2, 4, 6, 8, ...

Giải: 

Số hạng thứ nhất là : 2 = 2x1
Số hạng thứ 2 là: 4 = 2x2

Số hạng thứ 3 là: 6 = 2 x3

....

Số hạng thứ 2002 là: 2 x 2002=2004

Vậy số hạng thứ 2002 của dãy số là 4004.

VD2. Cho dãy số 3; 18; 48; 93....

a.Tìm số hạng thứ 79 của dãy số.

b.Số 11703 là số hạng thứ mấy của dãy?

Giải:

Ta có :

Số hạng thứ nhất là 3 = 3 + 15.0

Số hạng thứ hai là: 18 = 3 + 15.0 +15.1

Số hạng thứ ba là: 48 = 3+ 15.0+ 15.1+15.2

Số hạng thứ tư là: 93 = 3+15.0+ 15.1 +15.2+ 15.3

...

Số hạng thứ  n là : 

3+15.0+15.1+15.2+15.3+...+15.(n-1)

a) Số hạng thứ 79 là:

3+15.0+15.1+15.2+15.3+...+15.78 

=3+15.( 0+1+2+3+...+78)

= 3 + 15 ( 78 + 0 ). 79:2

=46218

b) Số 11703 là số hạng thứ n của dãy

Ta có:

11703 = 3+15.0+15.1+15.2+15.3+...+15.(n-1)

11703 = 3 +15 ( 0 + 1 + 2 + 3 +...+ n-1)

11703 = 3 +15 (n-1)n:2

(n-1)n : 2=780

(n-1)n =1560

Mà 1560 = 39.40

=> n = 39

Vậy 11703 là số hạng thứ 39 của dãy

Bài tập áp dụng.

a) Cho dãy số 1; 3; 5; 7; ... Tìm số hạng thứ 990 của dãy số. Số 1981 là số hạng thứ mấy của dãy số?

b) Cho dãy số 1; 4; 7; 10;.... Viết tiếp 5 số hạng vào dãy số trên. Tìm số hạng thứ 99 của dãy. Số hạng 995 có thuộc dãy số trên không? Giải thích.

Dạng 4. Dãy chữ.

VD1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: Con ngoan trò giỏi thành một dãy chữ liên tiếp ( CONNGOANTROGIOICONNGOANTRO....) Hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào.

Giải

Nhóm chữ con ngoan trò giỏi  gồm 15 chữ cái.

Giả sử dãy chữ trên có 2009 chữ cái

Vì 2009 : 15 =133 dư 14

như vây trong 2009 chữ cái trên có 133 nhóm chữ và 14 chữ cái

Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ chính là chữ cái thứ 14 của nhóm chữ là là chữ O của từ GIOI.

VD2: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: Nếu bạn chăm chỉ thành một dãy chữ liên tiếp ( NEUBANCHAMCHINEU....)

a) Hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào.

b) Nếu đếm được trong dãy có 98 chữ A thì dãy đó có bao nhiêu chữ C bao nhiêu chữ B 

Giải

a) Nhóm chữ NEUBANCHAMCHI  gồm 13 chữ cái.

Giả sử dãy chữ trên có 2009 chữ cái

Vì 2009 : 13 =154 dư 7

như vây trong 2009 chữ cái trên có 154 nhóm chữ và 7 chữ cái.

Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ chính là chữ cái thứ 7 của nhóm chữ là là chữ C của từ CHAM

b) Mỗi nhóm chữ sữ có 2 chữ A , 2 chữ C và 1 chữ B

Để viết được 98 chữ A thì chữ NEUBANCHAMCHI phải viết: 98:2=49 lần

Có những khả năng sau:

+) Khả năng 1: Nhóm chữ cái thứ 49 viết là: NEUBANCHA hoặc là NEUBANCHAM, khi đó:

Số chữ C được viết là: 49x2-1=97 chữ 

Số chữ B được viết là 49 chữ

+) Khả năng 2 : Nhóm chữ cái thứ 50 viết là: NEUBANCHAMC hoặc NEUBANCHAMCH hoặc NEUBANCHAMCHI, khi đó

Số chữ C được viết là: 49 x 2=98 chữ

Số chữ B được viết là: 49 chữ

Một số bài tập áp dụng:

1.

Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: Cố gắng thành một dãy chữ liên tiếp ( COGANGCOGANG....)

a) Hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào.

b) Nếu đếm được trong dãy có 101 chữ O thì dãy đó có bao nhiêu chữ G bao nhiêu chữ A.

2. 

 Người ta viết liên tiếp nhóm chữ bạn sẽ học tốt thành một dãy chữ liên tiếp ( BANSEHOCTOTBANSEHOC....)

a) Hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào.

b) Nếu đếm được trong dãy có 2009 chữ O thì dãy đó có bao nhiêu chữ B bao nhiêu chữ S?