Bài toán 87

Đáp án:

* Xét trường hợp tất cả các chữ số a, b, c, d, e đều lớn hơn hoặc bằng 1, khi đó mẫu số:

\(b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}>1\)  => \(0<\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}}<1\)

=> Vế trái lớn hơn a và nhỏ hơn a + 1

=> a < 225/157 < a + 1

Mà 225/157 = 1 + 68/157 => a = 1.

Suy ra

\(\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}}=\frac{68}{157}\):

\(b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}=\frac{157}{68}=2+\frac{21}{68}=2+\frac{1}{\frac{68}{21}}=2+\frac{1}{3+\frac{4}{21}}=2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}\)

Tương tự lý luận như trên suy ra b = 2; c = 3; d = 4; e = 5. Tích a.b.c.d.e = 1.2.3.4.5 = 120

* Trường hợp một trong các chữ số a, b, c, d, e bằng 0, không cần phải kiểm tra thỏa mãn đẳng thức đã cho, ta thấy tích a.b.c.d.e = 0 (nhỏ thua 120)

Vậy tích a.b.c.d.e lớn nhất là bằng 120 khi a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e= 5