Bài toán 334

Cho tam giác vuông ABC với AB = 3, AC = 4, BC = 5.

Trên cạnh BC lấy hai điểm N, P; trên cạnh AB lấy điểm M; trên cạnh AC lấy điểm Q sao cho MNPQ là hình vuông.

Tính diện tích hình vuông MNPQ.

-----------

Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Mười bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 27/11/2020. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 27/11/2020.

Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời đúng. Các bạn đã được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math:

Đặt cạnh hình vuông bằng $a$, suy ra $MN = NP = PQ = QM = a$.

\(\Delta BMN\text{∽}\Delta BCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BN}{MN}=\dfrac{BA}{CA}\Rightarrow BN=\dfrac{3}{4}.MN=\dfrac{3a}{4}\quad\left(1\right)\)

\(\Delta CQP\text{∽}\Delta CBA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CP}{QP}=\dfrac{CA}{BA}\Rightarrow CP=\dfrac{4}{3}.QP=\dfrac{4a}{3}\quad\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: 

\(5=BC=BN+NP+PC=\dfrac{3a}{4}+a+\dfrac{4a}{3}=\dfrac{37a}{12}\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{60}{37}.\)

Diện tích hình vuông $MNPQ$ là \(a^2=\left(\dfrac{60}{37}\right)^2=\dfrac{3600}{1369}\).