Bài toán 298
Trên bảng có dãy gồm 2020 số \(\dfrac{1}{1};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};...;\dfrac{1}{2020}\). Người ta thực hiện trò chơi: Mỗi lần xóa đi hai số \(a,b\) bất kì trong dãy số trên và viết thêm vào dãy số một số có giá trị bằng \(a+ab+b\). Sau khi thực hiện trò chơi như trên 2019 lần thì trên bảng chỉ còn một số. Hỏi số đó là số nào?
------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 6/3/2020. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 6/3/2020.
-------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất. Các bạn đã được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math:
Ta có: a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1)
Từ đó ta thấy khi thêm 1 vào số mới u + v + uv ta được tích của hai số cũ thêm 1 nhân với nhau.
Đó là đại lượng bất biến.
Từ đó số cuối cùng k đó là:
k + 1 =\(\left(\dfrac{1}{1}+1\right).\left(\dfrac{1}{2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{2020}+1\right)=2021.\)
Suy ra k = 2020.
