Bài toán 292
Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác thỏa mãn: qua M vẽ các đường thẳng song song với ba cạnh của tam giác, tạo thành ba tam giác có diện tích 4, 9, 49 như hình vẽ.
Tính diện tích tam giác ABC.
-------------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 17/1/2020. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 17/1/2020.
------------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất. Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math:
Đặt tên các điểm như trên hình vẽ:
Dễ thấy rằng \(\Delta IKM\sim\Delta MFJ\sim\Delta EMH\).
Do \(S_{IKM}:S_{MFJ}:S_{EMH}=9:4:49\) nên \(KM:FJ:MH=3:2:7.\)
Đặt \(FJ=2x\Rightarrow KM=3x,MH=7x\).
Lại có \(KM=BF,MH=JC\) (hình bình hành) nên \(BF=3x,JC=7x.\)
Suy ra \(BC=BF+FJ+JC=3x+2x+7x=12x.\)
Khi đó \(\dfrac{FJ}{BC}=\dfrac{2x}{12x}=\dfrac{1}{6}.\)
Do \(\Delta ABC\sim\Delta MFJ\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{MFJ}}=\left(\dfrac{BC}{FJ}\right)^2=36.\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=36.4=144.\)
