Bài toán 174
Cho một số tự nhiên x chỉ gồm các chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà khi cộng n với x ta được một số chia hết cho 45.
---------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 6/10/2017. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 6/10/2017.
--------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải đầy đủ và sớm nhất. Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
----------
Đáp án: Giả sử \(x=999...999\) (a lần chữ số 9(
Theo đề bài, ta có \(\left(x+n\right)⋮45\) nên \(\left(x+n\right)⋮5\) và \(\left(x+n\right)⋮9\) (Bởi vì UCLN(5;9) = 1)
+ Vì \(\left(x+n\right)⋮9\) mà \(x⋮9\) nên \(n⋮9\)
+ Vì \(\left(x+n\right)⋮5\) nên (x + n) có tận cùng bằng 0 hoặc 5. Lại có x tận cùng bằng số 9 nên n có tận cùng bằng 1 hoặc 6.
Vì n = 1 hoặc n = 6 đều không chia hết cho 9 nên ta xét đến n là số có hai chữ số.
TH1: n có hàng đơn vị là 1:
x + n = 9 (a số 9) 9 + z1 = 1 (a số 0) z0
Vậy, để n + x chia hết cho 9 thì 1 + z chia hết 8 hay z = 8 (1 + z = 9)
Vậy n nhỏ nhất thỏa mãn là 81.
TH2: n có hàng đơn vị là 6:
x + n = 9 (a số 9) 9 + z6 = 1 (a số 0) z5
Vậy, để n + x chia hết cho 9 thì (1 + z + 5) chia hết 9. Vậy z = 3 (1 + z + 5 = 9)
Vậy số n nhỏ nhất thỏa mãn là 36.
Do 36 < 81 nên số n cần tìm là 36.
