Bài toán 134
Cho n là một số nguyên. Khi đó, có xảy ra trường hợp cả n + 3 và n2 + 3 đều là lập phương của các số nguyên không? Tại sao?
--------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 30/12/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 30/12/2016.
_____
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải đúng và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
--------
Đáp án:
Giả sử cả n + 3 và n2 + 3 đều là lập phương của các số nguyên. Khi đó tích của chúng cũng là lập phương của một số nguyên.
Ta có : \(\left(n+3\right)\left(n^2+3\right)=n^3+3n^2+3n+9=\left(n+1\right)^3+8\)
Tích trên là số lập phương khi \(\left(n+3\right)\left(n^2+3\right)\) và (n + 1)3 là cặp số lập phương cách nhau 8 đơn vị.
Cặp số lập phương cách nhau 8 đơn vị là (0; 8) hoặc (-8;0)
Ta có: \(\orbr{\begin{cases}\left(n+1\right)^3=-8\\\left(n+1\right)^3=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-3\\n=-1\end{cases}}\)
Trong cả hai trường hợp ta thấy n2 + 3 đều không phải là lập phương của một số nguyên.
Vậy với n là một số nguyên, không xảy ra trường hợp cả n + 3 và n2 + 3 đều là lập phương của các số nguyên.
