Định lí Talet trong hình thang - Toán lớp 8

Lớp 8 Toán 8 Định lí Talet trong hình thang

Hãy mua tài khoản VIP để khám phá đầy đủ nội dung toán hấp dẫn từ Online Math với chi phí thấp, thanh toán đơn giản bằng thẻ cào điện thoại hoặc thẻ ngân hàng (ATM/VISA/Master)

00 : 00

Tỷ lệ đúng

Hôm nay, bạn còn 10 lượt làm bài tập.

Cho hình thang ABCD, AB // CD và AB < CD. Đường thẳng MN song song với 2 đáy cắt cạnh bên tại M và N (hình vẽ).

Tính độ dài x.

x =

Hướng dẫn giải:

Kéo dài hai cạnh bên AC và BD, chúng cắt nhau tại E.

Xét tam giác EMN có AB // MN, suy ra:

\(\frac{EA}{AM}=\frac{EB}{BN}\) => \(\frac{EA}{EB}=\frac{AM}{BN}\) (1)

Tương tự, trong tam giác ECD, có AB // CD, suy ra:

\(\frac{EA}{EB}=\frac{AC}{BD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BD}\) (vì cùng bằng \(\frac{EA}{EB}\))

=> \(\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}\) => \(\frac{3}{5}=\frac{x}{6}\)

=> \(x=\frac{3\times6}{5}=3,6\)

p.co = shuffle(['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen ']);
params({co: p.co});
p.event = function(Zone){
 Zone.find('[rx = "2"]')
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[2]});
 Zone.find('.svgedit path').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[3]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[0]});  
};

Cho hình thang ABCD như hình vẽ, MN là đường thẳng song song với hai đáy hình thang.

Chọn đoạn thẳng thích hợp để điền vào ô trống trong tỉ lệ thức sau:

AM	=	BN
MD	=	NC\|\|BC\|\|MN\|\|DC\|\|AB

Hướng dẫn giải:

Kéo dài hai cạnh bên AC và BD, chúng cắt nhau tại E.

Xét tam giác EMN có AB // MN, suy ra:

\(\frac{EA}{MA}=\frac{EB}{NB}\) => \(\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{NB}\) (1)

Tương tự, trong tam giác EDC, có AB // DC, suy ra:

\(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\) => \(\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{MA}{NB}=\frac{AD}{BC}\) (vì cùng bằng \(\frac{EA}{EB}\))

⇒ \(\frac{AD}{MA}=\frac{BC}{NB}\)

⇒ \(\frac{AD}{MA}-1=\frac{BC}{NB}-1\)

⇒ \(\frac{AD-MA}{MA}=\frac{BC-NB}{NB}\)

⇒ \(\frac{MC}{MA}=\frac{ND}{NB}\)

⇒ \(\frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}\)

Vậy ta chọn NC để điền vào ô trống trên.

Cho hình thang ABCD như hình vẽ, MN là đường thẳng song song với hai đáy hình thang.

Khi đó, những đẳng thức nào dưới đây đúng?

\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{BN}{BC}\).
\(\dfrac{MN}{DC}=\dfrac{AM}{AD}\).
\(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{NC}{BC}\).
\(\dfrac{DM}{AD}=\dfrac{CN}{BC}\).

Hướng dẫn giải:

Kéo dài hai cạnh bên AC và BD, chúng cắt nhau tại E.

+) Xét tam giác EMN có AB // MN, suy ra:

\(\dfrac{MA}{EA}=\dfrac{NB}{EB}\) \(\Rightarrow\dfrac{MA}{NB}=\dfrac{EA}{EB}\) (1)

Tương tự, trong tam giác EDC, có AB // DC, suy ra:

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{EA}{EB}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{MA}{NB}=\dfrac{AD}{BC}\) (vì cùng bằng \(\dfrac{EA}{EB}\))

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{AD}=\dfrac{NB}{BC}\)

+) Áp dụng định lý Ta let ta cũng có:

\(\dfrac{DM}{ED}=\dfrac{NC}{EC}\) và \(\dfrac{AD}{ED}=\dfrac{BC}{EC}\)

Suy ra \(\dfrac{DM}{AD}=\dfrac{NC}{BC}\).

p.co = shuffle(['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen ']);
params({co: p.co});
p.event = function(Zone){
 Zone.find('[rx = "2"]')
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[2]});
 Zone.find('.svgedit path').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[3]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[0]});
  Zone.find('.mathdefault, .katex').css({'font-family': 'Segoe UI', 'font-size': '1em', 'font-style': 'normal'});
};

Cho hình thang ABCD (có hai đáy là AB = @p.db@ và CD = @p.dl@). Cho MN song song với hai đáy và DM = 2 AM (xem hình vẽ). Tính độ dài MN?

Đáp số: MN = @p.ds@||@p.ds-1@||@p.ds-2@||@p.ds+1@.

Hướng dẫn giải:

Nối AC cắt MN tại E.

Vì DM = 2 AM \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AM}{AM+MD}=\dfrac{AM}{AM+2.AM}=\dfrac{1}{3}\)

Xét tam giác ADC có ME // DC, theo định lí Ta-let ta có:

\(\dfrac{MA}{AD}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{ME}{DC}=\dfrac{1}{3}\) (1)

\(\Rightarrow ME=\dfrac{1}{3}DC=\dfrac{1}{3}.@p.dl@=@p.x@\) (2)

Xét tam giác CAB có EN // AB, theo định lí Ta-let ta có:

\(\dfrac{EN}{AB}=\dfrac{CE}{CA}\) (3)

Từ (1) ta có: \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\) \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CA-AE}{CA}=\dfrac{CA-\dfrac{1}{3}CA}{CA}=\dfrac{2}{3}\)

Thay tỉ số này vào (2) ta có:

\(\dfrac{EN}{AB}=\dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow EN=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}.@p.db@=@p.y@\) (4)

Từ (2) và (4) ta có: \(MN=ME+EN=\text{@p.x@}+@p.y@=@p.ds@\).

p.i1 = random(1,4);
p.i2 = 2*p.i1;
p.co = ['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen '];
params({i1: p.i1, i2: p.i2, co: p.co});
p.db = p.i1*3;
p.dl = p.i2*3;
p.x = p.i2;
p.y = 2*p.i1;
p.ds = p.x+p.y;
p.event = function(Zone){
 Zone.find('[rx = "2"]')
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[p.i1]});
 Zone.find('.svgedit path').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[p.i1+1]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[p.i1+2]});  
};

p.mathFont = false;

function ps(numerator,denominator,check){ //hiển thị phân số, check = 0 thì hiển thị dấu trừ theo ý muốn
if(isNaN(numerator) || isNaN(denominator)) return   '\\dfrac{'+numerator+'}{'+denominator+'}';
else{
var gcd = function gcd(a,b){
    return Math.abs(b) ? Math.abs(gcd(b, a%b)) : Math.abs(a);
  };
  gcd = gcd(numerator,denominator);
var  q = [numerator/gcd, denominator/gcd];
 if(check = 0){ 
 if (q[0]>0 && q[1]<0){
    q[0] = q[0]*-1;
    q[1] = q[1]*-1;
  }else if(q[0]<0 && q[1]<0){
  q[0] = q[0]*-1;
  q[1] = q[1]*-1;
 };
};
  return (q[0] % q[1] == 0)? (q[0]/q[1]) : '\\dfrac{'+q[0]+'}{'+q[1]+'}'; 
};
};
p.k  = random(1,4);
p.co = shuffle(['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'red', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen ']);
params({k: p.k, co: p.co});
p.event = function(Zone){
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[0]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[2]});  
 Zone.find('.svgedit text').attr({"font-size": "16"});
};

p.a = 2;
p.b = 3;

Cho hình thang ABCD (có hai đáy là AB = @2*p.k@ và CD = @3*p.k@). M là trung điểm của AB, vẽ MN song song với hai đáy. Tính độ dài MN?

MN = .

Hướng dẫn giải:

Nối AC cắt MN tại E.

Vì M là trung điểm của AD ⇒ \(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{1}{2}\)

Xét tam giác ADC có ME // DC, theo định lí Talet ta có:

\(\dfrac{MA}{AD}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{ME}{DC}=\dfrac{1}{2}\) (1)

⇒ \(ME=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}.\text{@p.k*p.b@}=@ps(p.k*p.b,2)@\)

Xét tam giác CAB có EN // AB, theo định lí Talet ta có:

\(\dfrac{EN}{AB}=\dfrac{CE}{CA}\) (2)

Từ (1) ta có: \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}\) ⇒ E là trung điểm của AC ⇒ \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{1}{2}\)

Thay tỉ số này vào (2) ta có:

\(\dfrac{EN}{AB}=\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(EN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.@p.k*p.a@=\text{@p.a*p.k/2@}\)

ta có: \(MN=ME+EN=@ps(p.k*p.b,2)@+\text{@p.k*p.a/2@}=\text{@getDigits(p.k*2.5)@}\)

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. M và N là trung điểm của hai cạnh bên.

Đẳng thức nào sau đây đúng?

\(MN=\dfrac{1}{2}\left(CD+AB\right)\).
\(MN=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)\).
\(MN=\dfrac{1}{2}CD\).

Hướng dẫn giải:

Nối AN cắt DC tại E.

Xét hai tam giác NAB và NEC có: NB = NC; \(\widehat{BNA}=\widehat{ENC}\) (đối đỉnh); \(\widehat{ABN}=\widehat{ECN}\) (so le trong).

\(\Rightarrow\Delta NAB=\Delta NEC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow AB=EC\) và \(AN=EN.\)

Xét tam giác ADE có: \(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AN}{AE}=\dfrac{1}{2}\)

Theo định lí Ta-let đảo ta có: MN // DE và \(MN=\dfrac{1}{2}DE\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}\left(DC+CE\right)=\dfrac{1}{2}\left(DC+AB\right)\).

p.co = shuffle(['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen ']);
params({co: p.co});
p.event = function(Zone){
 Zone.find('[rx = "2"]')
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[2]});
 Zone.find('.svgedit path').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[3]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[0]});  
};
p.mathFont = false;

p.co = ['green', 'blue', 'orange', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen '];
params({co: p.co});
p.event = function(Zone){
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[0]}); 
};

Cho hình thang ABCD (có AB và CD là hai đáy). M và N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo BD và AC.

Đẳng thức nào sau đây là đúng:

\(MN=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)\).
\(MN=\dfrac{1}{2}\left(CD+AB\right)\).

Hướng dẫn giải:

Lấy E là trung điểm của cạnh bên AD.

Ta có:

EM là đường trung bình của tam giác DAB \(\Rightarrow\) EM // AB

EN là đường trung bình của tam giác ACD \(\Rightarrow\) EN // DC \(\Rightarrow\) EN // AB (vì AB // DC)

\(\Rightarrow\) E, M, N thẳng hàng và EN song song với AB, DC.

Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:

\(MN=EN-EM=\dfrac{1}{2}DC-\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\left(DC-AB\right)\)

Cho hình thang ABCD (có hai đáy AB = @p.db@ và CD = @p.dl@). E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC. Tính độ dài đoạn EF.

Đáp số: EF = cm.

Hướng dẫn giải:

Đường chéo AC cắt EF tại I.

Ta có \(\dfrac{EI}{DC}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{1}{2};\dfrac{FI}{AB}=\dfrac{CF}{BC}=\dfrac{1}{2}\).

\(EF=EI+FI=\dfrac{1}{2}\left(DC+AB\right)=\dfrac{1}{2}\left(@p.dl@+@p.db@\right)=@p.x@\) (cm).

Nhận xét: độ dài đường trung bình EF bằng trung bình cộng hai đáy của hình thang ABCD.

p.co = shuffle(['green', 'blue', 'purple', 'brown', 'BlueViolet', 'CornflowerBlue', 'DarkCyan', 'MediumSeaGreen ']);
p.dl = 2*random(7,10);
p.db = 2*random(p.dl/3,3*p.dl/7);
params({co: p.co, dl: p.dl, db: p.db});
p.x = (p.dl + p.db)/2;
p.event = function(Zone){
 Zone.find('[rx = "2"]')
 Zone.find('.svgedit line').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[2]});
 Zone.find('.svgedit path').attr({"stroke-width": "2", "stroke": p.co[3]});
 Zone.find('.svgedit rect').attr({"stroke-width": "1", "stroke": p.co[0]});  
};

Cho hình thang ABCD (có hai đáy AB = @p.a@cm và CD = @p.b@cm). M và N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính độ dài MN?

Đáp số: MN = @p.ds@||@p.ds1@||@p.ds2@||@p.ds3@ cm.

Hướng dẫn giải:

Theo bài tập trước, độ dài cạnh nối trung điểm hai đường chéo MN bằng nửa hiệu hai đáy của hình thang ABCD,

\(MN=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)=\dfrac{1}{2}\left(@p.b@-@p.a@\right)=@p.ds@\left(cm\right)\)

p.a = random(12,20);
p.b = random(p.a+3, p.a+ 6);
params({a: p.a, b: p.b});
p.ds = getDigits((p.b-p.a)/2);
p.ds1 = getDigits((p.b+p.a)/2);
p.ds2 = getDigits((p.b-p.a)/2+0.5);
p.ds3 = getDigits((p.b-p.a)/2+1);