Đây là một bài toán rất hay :)
Gọi N' = OB giao (O); I' là trung điểm AN'. Vậy I' cố định.
Xét tam giác AMN có:
I'A = I'N'
AI = IN
nên I'I là đường trung bình hay I'I // N'N (1).
Lại có: do BN' là đường kính nên \(\widehat{N'NB}=90^o\), mà \(\widehat{IMN}=90^o\), vì thế IM // NN' (2).
Từ (1) và (2) suy ra I' , I , M luôn thẳng hàng hay MI luôn đi qua điểm cố định I'.
b. Ta thấy I' cố định, B cũng cố định mà \(\widehat{I'MB}=90^o\) nên M thuộc đường tròn đường kinh I'B.
Đó là một đường tròn cố định, đây là hình vẽ minh họa chứng minh của cô: