Hỏi đáp bài tập

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

\(ĐK:x\ne-y\)

Ta có: \(8\left(x^2+y^2\right)+4xy=13-\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)\(\Leftrightarrow5\left(x^2+2xy+y^2\right)+3\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10=23\)\(\Leftrightarrow\left(5\left(x+y\right)^2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10\right)+3\left(x-y\right)^2=23\)\(\Leftrightarrow5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\)(1)

Lại có: \(2x+\frac{1}{x+y}=1\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\\\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\end{cases}}\)(*)

Đặt \(x+y+\frac{1}{x+y}=u;x-y=v\)thì hệ (*) trở thành \(\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\\u+v=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\left(3\right)\\v=1-u\left(4\right)\end{cases}}\)

Thay (4) vào (3), ta được: \(5u^2+3\left(1-u\right)^2=23\Leftrightarrow2\left(u-2\right)\left(4u+5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2\\u=-\frac{5}{4}\end{cases}}\)

* Th1: \(u=2\Rightarrow v=-1\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=2;x-y=-1\)

Thay x = y - 1 vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=2\)ta được: \(2y-1+\frac{1}{2y-1}=2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2=0\Leftrightarrow y=1\)(t/m \(y\ne\frac{1}{2}\)) suy ra x = 0

* Th2: \(u=-\frac{5}{4}\Rightarrow v=\frac{9}{4}\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4};x-y=\frac{9}{4}\)

Thay \(x=y+\frac{9}{4}\)vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4}\)ta được: \(2y+\frac{9}{4}+\frac{1}{2y+\frac{9}{4}}=-\frac{5}{4}\)(dễ thấy phương trình này vô nghiệm)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(0,1\right)\)

Đọc tiếp...