Hỏi đáp bài tập

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:

Xem câu hỏi

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)

Có: \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

Đọc tiếp...
CTV

Thử cách này có phải ý bạn không:

\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)

\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)

\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

Đọc tiếp...

Bạn có thể dùng cách cân bằng hệ số rồi dùng BĐT AM-GM được không?

Đọc tiếp...

cảm ơn bạn nhiều nhé

Đọc tiếp...