Ôn thi vào 10 - Môn Toán
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trìnhToán chuyển độngCâu 1
Hai thành phố A và B cách nhau 50 km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1 giờ 30 phút, người đi xe máy cũng đi từ A và đến B trước người đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc người đi xe máy bằng 2,5 lần vận tốc người đi xe đạp.
Đáp án:
1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.
Gọi vận tốc người đi xe đạp là x (km/h, x > 0)
Vận tốc người đi xe máy là 2,5x (km/h)
Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường AB là : \(\frac{50}{x}\) (giờ)
Thời gian người đi xe máy đi hết quãng đường AB là : \(\frac{50}{2,5x}=\frac{20}{x}\) (giờ)
Theo đề bài ta có phương trình \(\dfrac{50}{x}-\dfrac{20}{x}=1,5+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{30}{x}=2,5\Leftrightarrow x=30:2,5=12\left(tm\right)\)
Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12 km/h.
Vận tốc của người đi xe máy là : 12.2,5 = 30 (km/h)
Câu 2
Quãng đường AC (có đi qua B) dài 270 km. Một xe vận tải đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6 giờ. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC.
Đáp án:
Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ, 0 < x < 6)
Khi đó thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 6 - x (giờ)
Quãng đường AB dài là: 60x (km)
Quãng đường BC dài là: 40(6 - x) (km)
Theo bài ra ta có phương trình: \(60x+40\left(6-x\right)=270\)
\(\Leftrightarrow20x+240=270\)
\(\Leftrightarrow20x=30\)
\(\Leftrightarrow x=1,5\left(tm\right)\)
Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 1,5 giờ.
Thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là: 6 - 1,5 = 4,5 (giờ).
Câu 3
Một ô tô đi từ Quảng Ninh về Hà Nội, đường dài 200km. Người lái xe tính rằng nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì về đến Hà Nội sớm 40 phút. Tính vận tốc của ô tô (nếu không tăng).
Đáp án:
40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ
Gọi vận tốc của ô tô (nếu không tăng) là x (km/h, x > 0)
Vận tốc của ô tô khi tăng thêm 10 km/h là: x + 10 (km/h)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội với vận tốc khi chưa tăng là: \(\frac{200}{x}\left(h\right)\)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội với vận tốc khi đã tăng là: \(\frac{200}{x+10}\left(h\right)\)
Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}-\frac{2}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{600\left(x+10\right)-600x-2x\left(x+10\right)}{3x\left(x+10\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6000-2x^2-20x}{3x\left(x+10\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+20x-6000=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\left(tm\right)\\x=-60\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy vận tốc của ô tô nếu không tăng là 50 km/h.
Câu 4
Một người đi xe máy từ địa điểm A cách địa điểm B 60km với vận tốc dự định trước. Sau \(\frac{1}{3}\) quãng đường, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng đường còn lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc ban đầu là 10 km/h. Tính vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B, biết người đó đến muộn so với dự định 20 phút.
Đáp án:
( Đề thi tuyển sinh vào 10 - Hà Tĩnh - 2017)
20 phút \(=\frac{1}{3}\) giờ
Gọi vận tốc dự định của người đó là x (km/h, x > 10)
Thời gian dự định đi quãng đường AB là: \(\frac{60}{x}\) (giờ)
Quãng đường mà người đó đi với vận tốc dự định là: \(60.\frac{1}{3}=20\left(km\right)\)
Thời gian đi quãng đường ban đầu là: \(\frac{20}{x}\) (giờ)
Quãng đường còn lại là: 60 - 20 = 40 (km)
Vận tốc thực của xe máy khi đi quãng đường còn lại là: x - 10 (km/h)
Thời gian xe đi quãng đường còn lại là: \(\frac{40}{x-10}\)
Tổng thời gian để xe đi quãng đường AB là: \(\frac{20}{x}+\frac{40}{x-10}\) (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{20}{x}+\frac{40}{x-10}-\frac{1}{3}=\frac{60}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{-40}{x}+\frac{40}{x-10}-\frac{1}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-120\left(x-10\right)+120x-x\left(x-10\right)}{3x\left(x-10\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow-120\left(x-10\right)+120x-x\left(x-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x-1200=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=40\left(tm\right)\\x=-30\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy vận tốc dự định của người đó la 40 km/h.
Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\frac{20}{40}+\frac{40}{40-10}=\frac{11}{6}\) (giờ) = 1 giờ 50 phút.
Câu 5
Một ô tô dự định đi từ bến xe A đến bến xe B cách nhau 90km với vận tốc không đổi. Tuy nhiên ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định. Để đến bán xe B đúng giờ, xe đã tăng vận tốc thêm 5 km/h so với dự định. Tính vận tốc dự định của ô tô.
Đáp án:
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Ninh Bình - 2017)
12 phút = \(\frac{1}{5}\) giờ
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x > 0)
Thời gian dự định đi từ bến xe A đến bến xe B là \(\frac{90}{x}\) (giờ)
Vận tốc thực của ô tô là x + 5 (km/h)
Thời gian di chuyển thực tế của ô tô là \(\frac{90}{x+5}\) (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{90}{x}-\frac{90}{x+5}=\frac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{90}{x}-\frac{90}{x+5}-\frac{1}{5}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{450\left(x+5\right)-450x-x\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow450\left(x+5\right)-450x-x\left(x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x-2250=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=45\left(tm\right)\\x=-50\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 45 km/h.
Câu 6
Một cano xuôi dòng một khúc sông dài 40 km, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất tổng cộng 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của cano (khi nước yên lặng) biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.
Đáp án:
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - Phú Yên - 2017)
4 giờ 30 phút = \(\frac{9}{2}\) giờ.
Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 2)
Vận tốc của cano khi xuôi dòng là x + 2 (km/h)
Vận tốc của cano khi ngược dòng là x - 2 (km/h)
Thời gian cano đi xuôi dòng là \(\frac{40}{x+2}\) (giờ)
Thời gian cano đi ngược dòng là \(\frac{40}{x-2}\) (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{40}{x-2}+\frac{40}{x+2}=\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{40}{x-2}+\frac{40}{x+2}-\frac{9}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{80\left(x+2\right)+80\left(x-2\right)-9\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow80\left(x+2\right)+80\left(x-2\right)-9\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow80x+160+80x-160-9x^2+36=0\)
\(\Leftrightarrow-9x^2+160x+36=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=18\left(tm\right)\\x=-\dfrac{2}{9}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy vận tốc thực của cano là 18 km/h.
Câu 7
Cho quãng đường AB dài 300 km. Cùng một lúc xe ô tô xuất phát từ A đến B, xe ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút.
Đáp án:
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT Chuyên Thái Bình ( Toán chung) - 2017)
2 giờ 30 phút = \(\frac{5}{2}\) giờ
Do hai xe chạy ngược chiều, gặp nhau sau 3 giờ nên tổng vận tốc hai xe là:
300 : 3 - 100 (km/h)
Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h, 100 > x > 0)
Vận tốc xe thứ hai là 100 - x (km/h)
Thời gian ô tô thứ nhất đi cả quãng đường AB là \(\frac{300}{x}\)(giờ)
Thời gian ô tô thứ hai đi cả quãng đường AB là \(\frac{300}{100-x}\) (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{300}{x}-\frac{300}{100-x}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{300}{x}-\frac{300}{100-x}-\frac{5}{2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{600\left(100-x\right)-600x-5x\left(100-x\right)}{2x\left(100-x\right)}=0\)
\(\Rightarrow600\left(100-x\right)-600x-5x\left(100-x\right)=0\)
\(\Rightarrow5x^2-1700x+60000=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=40\left(tm\right)\\x=300\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h.
Vận tốc xe thứ hai là : 100 - 40 = 60 (km/h)
Câu 8
Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên một đường tròn có bán kính là 20 m, xuất phát từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì sau 4 giây lại gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi vật?
Đáp án:
(Đề thi tuyển sinh vào 10 - THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình - 2017)
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x và y (km/h, x, y > 0)
Chu vi đường tròn là \(2\pi.20=40\pi\left(m^2\right)\)
Tổng vận tốc của hai vật là \(\dfrac{40\pi}{4}=10\pi\) (km/h)
Hiệu vận tốc hai vật là \(\dfrac{40\pi}{20}=2\pi\) (km/h)
Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\x-y=2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\2x=12\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=10\pi\\x=6\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\pi\\y=4\pi\end{matrix}\right.\)(tm)
Vậy vận tốc hai vật lần lượt là \(6\pi\) km/h và \(4\pi\) km/h.