Bài 1: Lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Khái niệm: 

Cho \(n\) là số nguyên dương, với \(a\) là số thực bất kì, khi đó lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\).

$a^{n}=\underbrace{a.a....a}_{n\text{ thừa số }a}$

Trong biểu thức \(a^n\) ta gọi \(a\) là cơ số và \(n\) là số mũ.

2. Lũy thừa với số mũ 0. Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Khái niệm

Với \(a\ne0\)  ta có \(a^0=1;a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},n\inℤ^+\).

Chú ý:

\(0^0;0^{-n}\) không có nghĩa.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Định nghĩa

Cho $a$ là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\dfrac{m}{n}\), trong đó \(m\inℤ;n\inℤ,n\ge2\). Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$ là số \(a^r\) xác định bởi \(a^r=a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).

Đặc biệt

 \(a^{\dfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\), với \(a>0,n\ge2\)

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Định nghĩa

Cho $a$ là số thực dương và $\alpha$ là số vô tỉ. Gọi \(\left(r_n\right)\) là dãy hữu tỉ sao cho \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n\rightarrow\alpha\). Khi đó giới hạn của dãy số \(\left(a^{r_n}\right)\) là lũy thừa của $a$ với mũ \(\alpha\), kí hiệu \(a^{\alpha}\) 

\(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\) với  \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n\rightarrow\alpha\).

Chú ý

\(1^{\alpha}=1\left(\alpha\inℝ\right)\).

5. Căn bậc $n$ 

Khái niệm

Với $n$ nguyên dương, $n \geq 2$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số thực $b$ nếu $a^n=b$.

Điều kiện tồn tại căn bậc $n$ của một số

• Với $n$ lẻ và $b\in\mathbb{R}$: có một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\);
• Với $n$ chẵn
  • $b<0$: không tồn tại căn bậc $n$ của $b$;
  • $b=0$: có một căn bậc $n$ là $0$;
  • $b>0$: tồn tại 2 căn trái dấu là \(\sqrt[n]{b}\) và \(-\sqrt[n]{b}\).

6. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Tính chất

Cho $a, b$ là các số thực dương và $m, n$ là những số thực tùy ý. Khi đó:

• \(a^m.a^n=a^{m+n}\);
• \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\);
• \(\left(a^m\right)^n=a^{m.n}\);
• \(\left(ab\right)^n=a^n.b^n\);
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\).

So sánh

• Nếu $a>1$ thì \(a^m>a^n\Leftrightarrow m>n\).
• Nếu $a<1$ thì \(a^m>a^n\Leftrightarrow m< n\).