Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 3: Phương trình đường elip

Danh sách bài làm & chấm bài  

1. Định nghĩa đường elip

Nghiêng một cốc có chứa nước Elip

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn $2F_1 F_2$.

Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó.

Đặt đầu bút chì tại điểm $M$ rồi di chuyển sao cho dây luôn căng.

Đầu bút chì vạch nên một đường gọi là đường elip.

Ở hình bên dưới, nhấn vào nút  (góc dưới bên trái) rồi quan sát.

Định nghĩa

Cho hai điểm $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi $2a$ lớn hơn $F_1F_2$.

Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $F_1M + F_2M = 2a$.

Các điểm $F_1$ và $F_2$ gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách $F_1F_2=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

y x O M(x; y) A A B B F F 1 1 1 2 2 2

Elip $(E)$ có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm $M$ thuộc elip khi và chỉ khi $F_1M + F_2M = 2a$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho \(F_1\left(-c;0\right)\) và \(F_2\left(c;0\right)\).

Khi đó người ta chứng minh được:

\(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.\quad\left(1\right)\)

Trong đó $b^2 = a^2 - c^2$ (vì $2a > 2c$).

Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình chính tắc của elip.

Xem cách chứng minh công thức $(1)$ ở video bên dưới.

3. Hình dạng của elip

y x O A A B B F F 1 1 1 2 2 2 M M M M 1 2 3

a) Nếu điểm $M(x;y)$ thuộc $(E)$ thì các điểm $M_1(-x;y)$, $M_2(x;-y)$ và $M_3(-x;-y)$ cũng thuộc $(E)$.

Vậy $(E)$ có hai trục đối xứng là $Ox$, $Oy$ và có tâm đối xứng gốc O.

b)  Thay $y=0$ vào phương trình $(1)$ ta được $x= \pm a$, suy ra $(E)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1(a;0)$ và $A_2(-a;0)$.

Tương tự như vậy, thay $x=0$ ta suy ra $(E)$ cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1(0;-b)$ và $B_2(0;b)$.

Các điểm $A_1,A_2,B_1$ và $B_2$ gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1B_2$ gọi là trục nhỏ của elip.

 

@108263498127@

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

a) Từ hệ thức $b^2 = a^2 - c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần bằng $a$, tức là trục nhỏ của elip gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

Ở hình tương tác dưới, kéo thanh trượt để thay đổi giá trị của $c$ về $0$ ( sau đó nhấn vào nút  ) rồi quan sát.

b) Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 = a^2$.

Với mỗi điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn ta xét điểm $M'(x';y')$ sao cho:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x\\y'=\dfrac{b}{a}y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\y'^2=\left(\dfrac{b}{a}y\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\\dfrac{y'^2}{b^2}=\dfrac{y^2}{a^2}\end{matrix}\right.\).

Khi đó $x^2 + y^2 = a^2 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Tập hợp các điểm có tọa độ $M'(x';y')$ là đường elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Khi đó ta nói đường tròn $(C)$ được co thành elip $(E)$.

Hình tương tác bên dưới thể hiện mối quan hệ của $(C)$ và $(E)$ trong trường hợp $a=5$, $b=3$.

Kéo thanh trượt và nhấn vào nút  rồi quan sát.

Phụ huynh có nhu cầu đăng ký học kèm trực tuyến với giáo viên OLM xem tại đây, hoặc liên hệ: 0966 971 996 (cô Quyên)