Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.
Ta có
| $M(x;y) \in (C)$ | \(\Leftrightarrow IM=R\) |
| \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=R\) | |
| \(\Leftrightarrow\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\). $(1)$ |
Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$.
Hình bên dưới là đường tròn có phương trình $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.
Kéo thanh trượt rồi quan sát.
Phương trình đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2= R^2$ có thể được viết dưới dạng $x^2 + y^2 -2ax - 2by +c = 0$, trong đó $c = a^2+b^2-R^2$.
Ngược lại, phương trình $x^2 + y^2 -2ax - 2by +c = 0$ là phương trình của đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi $a^2 + b^2-c>0$.
Khi đó đường tròn $(C)$ có tâm là $I(a;b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 -c}$.
Chú ý: hệ số của $x^2$ và $y^2$ ở phương trình trên phải là $1$.
Xem video này để biết cách nhận biết một phương trình có là phương trình đường tròn hay không.
Cho điểm $M_0(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_0$.
Ta có $M_0$ thuộc $\Delta$ và vectơ \(\overrightarrow{IM_0}=\left(x_0-a;y_0-b\right)\) là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
Do đó $\Delta$ có phương trình là \(\left(x_0-a\right)\left(x-x_0\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-y_0\right)=0\). $(2)$
Phương trình $(2)$ được gọi là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) tại điểm $M_0(x_0;y_0)$.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(3;4)$ thuộc đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\).
Giải:
$(C)$ có tâm $I(1;2)$, vậy phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $M(3;4)$ là:
$(3-1)(x-3) +(4-2)(y-4) = 0$
$\Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0$
$\Leftrightarrow x + y -7= 0$.
Toán 10 (chương trình cũ)