Định lý
Nhị thức bậc nhất $f(x) = ax+b$ ($a\ne 0$) có nghiệm \(x_0=-\dfrac{b}{a}\), $f(x)$ có giá trị:
+) cùng dấu với hệ số $a$ khi \(x\in\left(-\dfrac{b}{a};+\infty\right)\) hay \(x>x_0\);
+) cùng dấu với hệ số $a$ khi \(x\in\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\) hay \(x< x_0\).
Bảng xét dấu
| $x$ | \(-\infty\) | \(-\dfrac{b}{a}\) | \(+\infty\) | ||
| $f(x) = ax+b$ | trái dấu với $a$ | $0$ | cùng dấu với $a$ |
Trục số
Nghiệm \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) của nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\left(a\ne0\right)\) chia trục số thành hai khoảng.
Đồ thị
 |
 |
Ví dụ: Xét dấu nhị thức $g(x) = -2x + 4$.
$g(x)$ có nghiệm $x_0 = 2$ và có hệ số $a = -2 < 0$.
Bảng xét dấu:
| $x$ | \(-\infty\) | $2$ | \(+\infty\) | ||
| $g(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Dựa vào bảng xét dấu, kết luận: $g(x) < 0$ khi $x>2$; $g(x) > 0$ khi $x<2$.
Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét dấu biểu thức là tích thương các nhị thức bậc nhất.
Ví dụ: Xét dấu biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-1\right)\left(x+2\right)}{-3x+5}\)
Giải:
$f(x)$ không xác định khi $x=\dfrac{5}{3}$.
Các nhị thức $4x - 1; x+2; -3x+5$ có các nghiệm lần lượt là \(\dfrac{1}{4};-2;\dfrac{5}{3}\). Các nghiệm này chia khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{5}{3}$ | $+\infty$ | |||||||
| $4x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||||||
| $x+2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | |||||||
| $-3x+5$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | |||||||
| $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $||$ | $-$ | |||||
Từ bảng xét dấu ta thấy:
$f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty;-2)$ hoặc \(x\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{3}\right)\); $f(x) < 0$ khi \(x\in\left(-2;-\dfrac{1}{4}\right)\) hoặc \(x\in\left(\dfrac{5}{3};+\infty\right)\);
$f(x) = 0$ khi \(x=-2\) hoặc \(x=\dfrac{1}{4}\); $f(x)$ không xác định khi \(x=\dfrac{5}{3}\) (kí hiệu bởi || trong bảng).
Bất phương trình tích/ chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ: Giải bất phương trình \(\dfrac{1}{1-x}\ge1\quad\left(1\right)\).
Giải: Ta biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng \(f\left(x\right)\ge0\), sau đó xét dấu biểu thức $f(x)$ để tìm ra khoảng mà $f(x)$ mang dấu dương hoặc bằng $0$.
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x}{1-x}\ge0.\)
Xét dấu biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình $(1)$ là \(0\le x< 1\).
Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải bất phương trình \(\left|x-1\right|\le2\left|-x-4\right|+x-2\)
Giải: Khử dấu giá trị tuyệt đối
Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối.
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $1$ | $+\infty$ | |||||
| $|x-1|$ | $-(x-1)$ | $-(x-1)$ | $0$ | $x-1$ | |||||
| $2|-x-4|$ | $2(-x-4)$ | $0$ | $-2(-x-4)$ | $-2(x-4)$ | |||||
Dựa vào bảng trên ta có
a) với $x \le -4$, bất phương trình thành
\(-x+1\le-2x-7+x-2\) hay \(1\le-10\),
do đó trong khoảng \(\left(-\infty;-4\right]\), bất phương trình vô nghiệm.
b) Với \(-4< x\le1\), bất phương trình trở thành
\(-x+1\le2x+8+x-2\)
\(\Leftrightarrow4x\ge-5\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{4}.\)
Do đó, trong khoảng \(\left(-4;1\right]\) phương trình có nghiệm \(-\dfrac{5}{4}\le x\le1\).
c) với $x>1$, bất phương trình trở thành
\(x-1\le2x+8+x-2\)
\(\Leftrightarrow2x\ge-7\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{2}.\)
Vậy mọi $x>1$ đều là nghiệm của bất phương trình.
Tổng hợp các kết quả ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là
\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{4}\le x\le1\\x>1\end{matrix}\right.\) hay \(x\ge-\dfrac{5}{4}.\)
Toán 10 (chương trình cũ)