Bất đẳng thức là một mệnh đề có dạng "$a>b$" hoặc "$a<b$".
Ví dụ:
a) $2 > 1$;
b) $-7 < -6,25$;
c) \(x^2\ge0\).
+) Mệnh đề "\(a< b\Rightarrow c< d\)" đúng thì bất đẳng thức \(c< d\) được gọi là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a< b\).
+) Nếu bất đẳng thức \(c< d\) được gọi là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a< b\) và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là \(a< b\Leftrightarrow c< d\).
+) Để so sánh hai số, hai biểu thức $A$ và $B$ ta xét dấu của hiệu $A-B$
\(A\le B\Leftrightarrow A-B\le0\)
\(A< B\Leftrightarrow A-B< 0\)
Để chứng minh một bất đẳng thức ta thường sử dụng các tính chất cho trong bảng sau
| Điều kiện | Nội dung | Tên gọi |
| $a<b$ và $b<c$ ⇒ $a<c$ | Bắc cầu | |
| $a<b$ ⇔ $a + c < b+c$ | Cộng hai vế bất đẳng thức với một số | |
| $c>0$ | $a<b$ ⇔ $ac < bc$ | Nhân hai vế bất đẳng thức với một số |
| $c<0$ | $a<b$ ⇔ $ac > bc$ | |
| $a<b$ và $c<d$ ⇒ $a+c < b+d$ | Cộng hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều | |
| $a>0,c>0$ | $a<b$ và $c<d$ ⇒ $ac < bd$ | Nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều |
| $n \in \mathbb{N}^*$ | \(a< b\Leftrightarrow a^{2n+1}< b^{2n+1}\) | Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa |
| \(0< a< b\Leftrightarrow a^{2n}< b^{2n}\) | ||
| $a>0$ | \(a< b\Leftrightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\) | Khai căn hai vế của một bất đẳng thức |
| \(a< b\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}< \sqrt[3]{b}\) |
Nhắc lại định nghĩa về giá trị tuyệt đối: \(\left|A\right|=\left\{{}\begin{matrix}A\quad\text{nếu }A\ge0\\-A\quad\text{nếu }A< 0\end{matrix}\right..\)
Bảng dưới nêu một số bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
| Điều kiện | Nội dung |
| \(\left|x\right|\ge0;\left|x\right|\ge x;\left|x\right|\ge-x\) | |
| $a>0$ | \(\left|x\right|\le a\Leftrightarrow-a\le x\le a\) |
| \(\left|x\right|\ge a\Leftrightarrow x\le-a\) hoặc \(x\ge a\) | |
| \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) |
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\quad\left(a\ge0;b\ge0\right).\)
Đẳng thức \(\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Bất đẳng thức Cô-si là một công cụ hữu hiệu trong các bài toán bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN.
Ví dụ: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2,\quad\forall a>0\).
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $a$ và $\dfrac{1}{a}$ ta có:
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\).
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{a}\\a>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=1.\)
Xét hàm số $f(x)$ với tập xác định $D$. Ta định nghĩa
a) $M$ là giá trị lớn nhất của của hàm số $y=f(x)$ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\le M,\quad\forall x\in D\\\exists x_0\in D,\quad f\left(x_0\right)=M\end{matrix}\right..\)
b) $m$ là giá trị lớn nhất của của hàm số $y=f(x)$ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\ge m,\quad\forall x\in D\\\exists x_0\in D,\quad f\left(x_0\right)=m\end{matrix}\right..\)
Toán 10 (chương trình cũ)