Mỗi bạn đến lượt mình sẽ tìm số tự nhiên nhỏ nhất tiếp theo sao cho trong các chữ số của số đó chứa ít nhất một chữ số 3. Cụ thể là: An đi trước, An tìm được số 3, đến lượt Bình tìm được số 13, Hoa tìm được số 23, An tìm được số 30, Bình tìm được số 31, Hoa tìm được số 32, An tìm được số 33, ... cứ tiếp tục như vậy. Đến lượt bạn nào tìm được số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện có ít nhất một chữ số 3 và lớn hơn 400 thì dừng lại.
Ba bạn có lời giải đúng, đầy đủ và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Lời giải của các bạn sẽ được công bố vào Thứ Sáu, ngày 10/7/2015. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy, ngày 11/7/2015.
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất - các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
Đáp án
Cách 1
Xét các số từ 1 đến 99:
- Có 10 số có chữ số 3 ở hàng đơn vị: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
- Có 10 số có chữ số 3 ở hàng chục: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.
- Trong 20 số trên, số 33 xuất hiện ở cả hai danh sách => Có tất cả 20 + 20 - 1 = 19 số có chứa chữ số 3.
Tương tự, trong phạm vi từ 100 đến 199 có 19 số có ít nhất 1 chữ số 3.
trong phạm vi từ 200 đến 299 có 19 số có ít nhất 1 chữ số 3.
Từ 300 đến 399 có (399 - 300) + 1 = 100 số đều có chữ số 3 ở hàng trăm.
Số lớn hơn 400 có chứa chữ số 3 là số 403, trò chơi kết thức ở số 403.
Vậy từ 1 đến 403 có tất cả: 19 + 19 + 19 + 100 + 1 = 158 số có ít nhất một chữ số 3 trong cấu tạo của nó.
Để ý thêm rằng, An chọn các số có số thứ tự là 1, 4, 7 , ... là các số có số thứ tự chia cho 3 dư 1.
Bình chọn các số có số thứ tự là 2, 5, 8 , ... là các số có số thứ tự chia cho 3 dư 2.
Hoa chọn các số có số thứ tự là 3, 6, 9 , ... là các số có số thứ tự chia hết cho 3.
Vì số cuối cùng (số 403) có số thứ tự là 158, mà 158 chia cho 3 dư 2 => Bình sẽ là người chọn số cuối cùng.
-------------------
Cách 2 (của bạn Nguyễn Trần Hiểu Lam)
Số có chứa chữ số 3 và đứng sau số 400 là 403. Số đứng trước 403 và có chứa chữ số 3 là số 399. Ta có:
[Số các số có ít nhất một chữ số 3 từ 0 đến 399] = [tổng số các số từ 0 đến 399] - [số các số từ 0 đến 399 và không chứa chữ số 3 nào].
Mà: [tổng số các số từ 0 đến 399] là (399 - 0) + 1 = 400 số.
[số các số từ 0 đến 399 không chứa chữ số 3 nào] có dạng ABC, trong đó A nhận các giá trị 0, 1, 2 (không có chữ số 3); B và C nhận các giá trị 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (các chữ số từ 0 đến 9 trừ chữ số 3). Số các số là: 3 x 9 x 9 = 243 số.
Vậy: [Số các số có ít nhất một chữ số 3 từ 0 đến 399] = 400 - 243 = 157 số.
⇒ [Số các số có ít nhất một chữ số 3 từ 0 đến 403] = 157 + 1 = 158 số (bằng 157 số ở trên thêm 1 số 403).
Đến đây lý luận tương tự cách trên, An chọn các số có số thứ tự chia cho 3 dư 1, Bình chọn các số có số thứ tự chia cho 3 dư 2, Hoa chọn các số có số thứ tự chia hết cho 3. Mà số cuối có số thứ tự 158 chia cho 3 dư 2 => Bình là người chọn số cuối.
