Bài toán 137
Cho hình cửu giác đều như hình vẽ. Chứng minh rằng BF = BI + BA.
------------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 20/1/2017. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 20/1/2017.
-----------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải đúng và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
------------
Sau đây là lời giải của bài toán:
Cách 1: Lời giải của bạn Chibi:
Ta có:
Do ABCDEFGHI là cửu giác đều nên tam giác FIC đều (FI = IC = CF)
=> \(\widehat{FCI}=60^o.\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp cửu giác ABCDEFGHI. Khi đó ta có: \(\widehat{FBI}=\widehat{FCI}=60^o\)(Góc nội tiếp chắn cung FI)
Tương tự, \(\widehat{EIB}=60^o\)
Gọi X là giao điểm FB và EI.
=> Tam giác XIB đều \(\Rightarrow IB=IX.\)
Ta có: \(\widehat{EXF}=\widehat{IXB}=60^o;\widehat{FEX}=\widehat{XBI}=60^o\Rightarrow\) tam giác XEF đều.
=> FX = FE = BA
Ta có BF = BX + FX = BI + BA (đpcm)
Cách 2: Lời giải của bạn Phan Thanh Tịnh:
Kẻ CK // EF \(K\in BF.\)
ABCDEFGHI là cửu giác đều nên có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng : 1800.(9 - 2) : 9 = 1400
\(\Rightarrow\Delta IAB=\Delta EDC\left(c-g-c\right)\Rightarrow IB=EC.\)
Do ED = CD nên \(\Delta EDC\)cân tại D \(\Rightarrow\widehat{CED}=\frac{180^o-\widehat{EDC}}{2}=\frac{180^o-140^o}{2}=20^o.\)
\(\Rightarrow\widehat{FEC}=\widehat{FED}-\widehat{CED}=140^o-20^o=120^o.\)
Do EC // FB ; FE = CB ; FE // KC nên ECKF là hình bình hành,ECBF là hình thang cân
\(\Rightarrow EC=FK;\widehat{BFE}=180^o-120^o=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CKB}=\widehat{CBK}=\widehat{BFE}=60^o\Rightarrow\Delta BKC\) đều
=> BK = BC
=> FB = FK + KB = EC + BC = BI + BA (đpcm)
