Bài toán 122
Cho bốn đường tròn tiếp xúc với nhau đôi một như hình vẽ dưới đây. Biết bán kính đường tròn lớn nhất là R, hai đường tròn nhỡ đều có bán kính là R/2. Hãy tính diện tích phần tô màu theo R và \(\pi\)..
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi yes kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 7/10/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 8/10/2016.
--------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất; Các bạn đã được cộng./thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
--------------
Đáp án
Gọi A, B là tâm đường tròn nhở (bán kính R/2), C là tâm đường tròn nhỏ (gọi bán kính là x). Khi đó CA = CB = R/2 + x.
Vậy CAB là tam giác cân ở C. Gọi H là điểm tiếp xúc của hai đường tròn nhỡ. Khi đó HA = HB => H là trung điểm của AB => H chính là tâm đường tròn to.
=> HC = HD - DC = R - x.
Vì CAB cân => CH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao. Theo định lý Pitago trong tam giác vuông HAC ta có:
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
=> \(\left(\frac{R}{2}+x\right)^2=\left(\frac{R}{2}\right)^2+\left(R-x\right)^2\)
=> \(x=\frac{R}{3}\)
Bán kính đường tròn bé nhất x = R/3.
Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình tròn to trừ đi tổng ba hình tròn chứa trong hình tròn to, và bằng:
\(\pi R^2-\left[\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2+\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2+\pi\left(\frac{R}{3}\right)^2\right]=\frac{7}{18}\pi R^2\)
Đáp số: \(\frac{7}{18}\pi R^2\)
