Bài toán 108
Tìm một số có 5 chữ số N = abcde biết rằng chữ số a bằng số dư của phép chia N cho 2, chữ số b bằng số dư của phép chia N cho 3, chữ số c bằng số dư của phép chia N cho 4, chữ số d bằng số dư của phép chia N cho 5, và chữ số e bằng số dư của phép chia N cho 6. (Chú ý các chữ số a, b, c, d, e có thể trùng nhau.)
(Bài toán trong USA Mathematical Talent Search)
--------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 1/7/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 2/7/2016.
--------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
Luật Lê Bá, Trường THCS Quỳnh Thiện, Thị xã Hoàng Mai - Nghệ An
Phạm Ngọc Dương, Trường THCS Quỳnh Nghĩa, Huyện Quỳnh Lưu - Nghệ An
Nguyễn Lê Lâm Phúc, Trường THCS Nam Hà, Huyện Lâm Hà - Lâm Đồng
Xuka and Nobita, Trường THCS Nguyễn Trường Tộ, Quận Đống Đa - Hà Nội
Đinh Trọng Chiến, Trường THCS Quỳnh Nghĩa, Huyện Quỳnh Lưu - Nghệ An
Lê Tự Nguyên Hào, Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, Quận 1 - Thành phố Hồ Chí Minh
Son Nguyen Cong, Trường Tiểu học Ngô Đức Kế, Huyện Can Lộc - Hà Tĩnh
Nguyễn Thiên Kim, Trường THCS Phan Chu Trinh, Huyện Tân Thành - Bà Rịa - Vũng Tàu
-------------
Đáp án của bạn Nguyễn Thiên Kim
Theo đề ta suy ra \(a< 2,b< 3,c< 4,d< 5,e< 6\)(\(a,b,c,d\in N;a\ne0\))
Từ đó \(a=1\Rightarrow\)N chia 2 dư 1 \(\Rightarrow\)N lẻ \(\Rightarrow\)\(e\)lẻ, mà \(e< 6\)\(\Rightarrow e\in\left\{1;3;5\right\}\)
Do \(b\)bằng số dư của phép chia N cho 3
\(\Rightarrow\)\(b\)là số dư của phép chia \(a+b+c+d+e\)cho 3
\(\Rightarrow a+c+d+e\)chia hết cho 3 mà \(a=1\) nên \(a\)chia 3 dư 1
\(\Rightarrow c+d+e\)chia 3 dư 2. Xét 3 trường hợp:
- TH1: Khi \(e=1\Rightarrow d=1\Rightarrow\)de = 11 chia 4 dư 3 \(\Rightarrow c=3\Rightarrow c+d+e=3+1+1=5\)chia 3 dư 2 (chọn)
- TH2: Khi \(e=3\Rightarrow d=3\Rightarrow\)de = 33 chia 4 dư 1 \(\Rightarrow c=1\Rightarrow c+d+e=1+3+3=7\)chia 3 dư 1 (loại)
- TH3: Khi \(e=5\Rightarrow d=0\Rightarrow\)de = 05 chia 4 dư 1 \(\Rightarrow c=1\Rightarrow c+d+e=1+5+0=6\)chia 3 dư 2 (chọn)
Vậy abcde = 1b311
Ta có:\(b< 3\)mà \(b\in N\Rightarrow b\in\left\{0;1;2\right\}\)
Ta tìm được 3 số: 10311, 11311, 12311.
Thử lại ta thấy chỉ có số 11311 thỏa mãn đề bài.
Vậy N = 11311.
