Bài 3: Phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

I. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Lũy thừa bậc \(n\) của một số hữu tỉ \(x\), kí hiệu là \(x^n\), là tích của \(n\) thừa số \(x\):

Chú ý: 

\(x^n\) đọc là "\(x\) mũ \(n\)" hoặc "\(x\) lũy thừa \(n\)" hoặc "lũy thừa bậc \(n\) của \(x\)";

\(x^2\) còn được gọi là "\(x\) bình phương" hay "bình phương của \(x\)";

\(x^3\) còn được gọi là "\(x\) lập phương" hay "lập phương của \(x\)".

Ví dụ: Viết mỗi tích sau dưới dạng một lũy thừa:

a) \(\dfrac{-4}{3}.\dfrac{-4}{3}.\dfrac{-4}{3}\);

b) \(\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right)\).

Giải

a) \(\dfrac{-4}{3}.\dfrac{-4}{3}.\dfrac{-4}{3}=\left(\dfrac{-4}{3}\right)^2\).

b) \(\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right).\left(-0,5\right)=\left(-0,5\right)^5\).

Lưu ý: 

Để viết lũy thừa bậc \(n\) của phân số \(\dfrac{a}{b}\), ta phải viết \(\dfrac{a}{b}\) trong dấu ngoặc ( ), tức là \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\).

II. TÍCH VÀ THƯƠNG CỦA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

\(x^m.x^n=x^{m+n}\left(m,n\inℕ\right)\).

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia:

\(x^m:x^n=x^{m-n}\left(x\ne0;m\ge n;m,n\inℕ\right)\).

Quy ước: \(x^0=1\left(x\ne0\right)\).

Ví dụ: Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) \(\left(-\dfrac{5}{7}\right)^3.\left(-\dfrac{5}{7}\right)^2\);

b) \(\left(-0,4\right)^6:\left(-0,4\right)^3\).

Giải

a) \(\left(-\dfrac{5}{7}\right)^3.\left(-\dfrac{5}{7}\right)^2=\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{3+2}=\left(-\dfrac{5}{7}\right)^5\).

b) \(\left(-0,4\right)^6:\left(-0,4\right)^3=\left(-0,4\right)^{6-3}=\left(-0,4\right)^3\).

III. LŨY THỪA CỦA MỘT LŨY THỪA

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ:

\(\left(x^m\right)^n=x^{m.n}\left(m,n\inℕ\right)\).

Ví dụ: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của \(a\):

a) \(\left[\left(\dfrac{-2}{5}\right)^3\right]^2\) với \(a=\dfrac{-2}{5}\);

b) \(\left[\left(0,2\right)^3\right]^4\) với \(a=0,2\).

Giải

a) \(\left[\left(\dfrac{-2}{5}\right)^3\right]^2=\left(\dfrac{-2}{5}\right)^{3.2}=\left(\dfrac{-2}{5}\right)^6\).

b) \(\left[\left(0,2\right)^3\right]^4=\left(0,2\right)^{3.4}=\left(0,2\right)^{12}\).

Ví dụ: Viết \(2^{15}\) dưới dạng lũy thừa của 8.

Giải

\(2^{15}=2^{3.5}=\left(2^3\right)^5=8^5\).