Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

I. KHÁI NIỆM

Khi viết \(\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{8}{12}\), ta có dãy tỉ số bằng nhau.

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý: 

• Với dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{g}\), ta cũng viết $a:b=c:d=e:g$.
• Khi có dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{g}\), ta nói các số $a$, $c$, $e$ tỉ lệ với các số $b$, $d$, $g$ và viết $a:c:e=b:d:g$.

Ví dụ: Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số: \(\dfrac{1}{-2}\); \(\dfrac{-8}{16}\); \(\dfrac{3}{6}\); \(\dfrac{-9}{18}\).

Giải

Ta thấy các tỉ số \(\dfrac{1}{-2}\); \(\dfrac{-8}{16}\); \(\dfrac{-9}{18}\) đôi một bằng nhau và không bằng tỉ số \(\dfrac{3}{6}\). Vì thế, ta có dãy tỉ số bằng nhau là:

\(\dfrac{1}{-2}=\dfrac{-8}{16}=\dfrac{-9}{18}\).

Ví dụ: Dùng dãy tỉ số bằng nhau thể hiện câu nói sau:

"Số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với các số 6; 7; 9".

Giải

Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a$, $b$, $c$. Ta có dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{9}\).

II. TÍNH CHẤT

Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), ta suy ra:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) ($b\neq d$ và $b \neq -d$).

Nhận xét: Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{g}\), ta suy ra:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{g}=\dfrac{a+c+e}{b+d+g}=\dfrac{a-c+e}{b-d+g}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ: Tìm hai số $x$, $y$, biết: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}\) và $x-y=20$.

Giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{x-y}{3-7}=\dfrac{20}{-4}=-5\).

Vậy \(x=\left(-5\right).3=-15\); \(y=\left(-5\right).7=-35\).

III. ỨNG DỤNG

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia một đại lượng cho trước thành các phần theo tỉ lệ cho trước.

Ví dụ: Một công ty chi $168$ triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ở ba tổ. Số tiền thưởng của ba tổ tỉ lệ với ba số $3$; $5$; $6$. Tính số tiền thưởng của mỗi tổ.

Giải

Gọi số tiền thưởng của mỗi tổ lần lượt là $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng), $z$ (triệu đồng).

Ta có: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}\) và $x+y+z=168$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{x+y+z}{3+5+6}=\dfrac{168}{14}=12\).

Suy ra: $x=3.12=36$ (triệu đồng); $y=5.12=60$ (triệu đồng); $z=6.12=72$ (triệu đồng).

Vậy số tiền thưởng của mỗi tổ lần lượt là: $36$ triệu đồng, $60$ triệu đồng, $72$ triệu đồng.